Как появился счет Зарождение простейшей хозяйственной деятельности требовало умения какой-то, пусть самой грубой оценки количества предметов. Специальных терминов-числительных в человеческих языках не было. Они создавались по мере необходимости, причем самым простым способом: два - это один и один, три - два и один. Исследуя современные нам примитивные австралийские племена, обитающие в бухте Купера, ученые обнаружили следующую систему счета: один - гуна, два - баркула, три - баркула-гуна, четыре - баркула-баркула. В языке охотничьего индейского племени абипонов в Аргентине: один - интара, два - иньока, три - иньока-интара; звучание цифры четыре в переводе означает лапу страуса, пять - пальцы руки, десять - пальцы обеих рук, двадцать - пальцы рук и ног. У народов, стоящих на низших ступенях производственной деятельности, всегда существует много слов, связанных с этой деятельностью. Так, охотники могут иметь огромное количество названий для различных животных, но не сумеют назвать их совокупность, животные. То есть они не могут обобщить существующие понятия в единый комплекс. То же самое и со счетом. Может существовать обозначение единицы, а двойка уже мыслится как много. Вот пример: у индийцев брат - бхай, а братья - бхай-бхай. Отсутствие развитого счета не препятствовало первичной меновой торговле, ведь она происходила через сравнение обмениваемых предметов наглядно. Их выкладывали в ряды, друг против друга. Например, угри против кореньев, как это и сейчас происходит у аборигенов Австралии. В пра-индоевропейском языке числительное один отсутствовало. Почему? "Собственно счет или исчисление предметов начинается с двух и более, тогда как один предполагает не счет, а называние предмета с помощью его специального обозначения. В дальнейшем такие названия становятся специальными обозначениями числа один и входят в ряд числительных как его начальный элемент. Этим и объясняется разнобой в обозначении числа один в близкородственных диалектах" (Гамкрелидзе, Иванов). В русском языке до сих пор сохранились "начальные элементы" счета, некие "счетные слова", применяемые наряду с числительными: пять душ детей, три штуки яблок, четыре куска сахара. То же и у китайцев. У них между названием предмета и числительным вставляется тоу, голова (при счете скота), би, рукоятка (для инструментов), жен, корень (для веревок, ниток, ремней, поясов), лин - для дробинок, капель, мелких предметов. То же самое в японском, персидском и других языках. Потребности практики требовали увеличения количества слов-числительных. Их могло быть пять, или десять, или двадцать, но более двадцати становилось неудобно считать, так как нужно было запоминать все больше и больше специальных названий для абстрактных понятий, цифр. Поэтому с определенного этапа новые числительные образовывались путем повтора уже имеющихся. Так и получилось, что у большинства народов всего десять цифр. Это показывает, что понятие числа было неотделимо от измерения. Собственно, счет и есть перекладывание предметов, манипуляции с ними. Н. Н. Миклухо-Маклай (1846-88) описывает способ счета, принятый у жителей Новой Гвинеи: "Папуас загибает один за другим пальцы руки, причем издает определенные звуки, например "бе, бе, бе, бе"... Досчитав до пяти, говорит "ибон-бе" (рука). Затем он загибает пальцы второй руки, снова повторяя "бе, бе"... пока не доходит до "ибон али" (две руки)". Далее он считает по ноге, второй ноге, а если надо, пользуется пальцами рук и ног соплеменников. Русское пять образовалось от слова пясть, что означает кисть руки на старославянском. Во многих языках сохранились "следы", отличающие первоначальные цифры от цифр, принятых позже. В русском только числительные 1 и 2 могут иметь мужской (один, два), женский (одна, две) и средний (одно) род. Это и есть наши первые цифры. До появления цифр или букв, используемых как цифры, люди считали на пальцах или с помощью камней, раковин, зарубок, узлов. Понятие считать - calсulare по-латыни (откуда современные слова калькулировать, калькулятор), произошло от латинского же слова calculus, камешек. У короадосов Бразилии счет идет сначала по суставам четырех пальцев левой руки, без учета большого пальца. По три сустава на каждом пальце, всего получается двенадцать. А на правой руке каждый палец считается равным всей левой руке, то есть двенадцати. Итого 12х5=60 - и вот перед вами шестидесятиричная система счисления. Эта система применялась достаточно широко по всей планете. Десятичная система стала более распространенной, поскольку она удобнее в пользовании. Хотя, например, в России до 1917 года продержалась, а в Англии и сейчас частично используется система с основанием 12. Дюжина, гросс (дюжина дюжин), масса (дюжина гроссов). И кстати, для торговли дюжина удобнее, чем десяток. Дюжину пуговиц можно делить не только на половины, но и на трети, и на четверти, что при десятеричном исчислении невозможно. Современная позиционная десятичная система с применением так называемых "арабских" цифр (появившихся впервые у испанских арабов) и нуля стала известна в Европе в X - XI веках н.э., а получила повсеместное распространение только в XV - XVI веках. Вот оно, начало "эпохи Возрождения"! Невозможно поверить, но это так: появление НУЛЯ в научном обиходе создало современную научную цивилизацию! Никакой древнегреческой абаки, счетной доски, не могло быть ранее появления позиционной системы счисления. А если эта система была известна в Древней Греции, то почему от нее отказались? Позиционная система счисления основана на принципе позиционного, поместного значения цифр, то есть на том, что одна и та же цифра получает различные числовые значения в зависимости от ее места (позиции) в записи, например, 222 = 200 + 20 + 2. До появления позиционный системы процедура счета была ЧРЕЗВЫЧАЙНО трудоемка. Чтобы не запутывать вас многословными доказательствами, предлагаем попробовать сложить ряд непозиционных римских чисел: СССХХХ + LI + LXXI = ? Получилось? А теперь перемножьте их. ...Единицы измерения длины на первых порах возникли из сопоставления измеряемой длины с частями тела, которыми ее измеряли. Примеры - локоть, стопа, сажень (расстояние между кончиками пальцев рук, вытянутых на ширину плеч), дюйм (по-немецки большой палец), фут (по-английски нога) и так далее. Сложение и вычитание на протяжение очень долгого времени были единственными доступными математическими действиями. Затем освоили умножение, которое, по сути, было просто удвоением и дальнейшим сложением. Потребность в умножении появилась в связи с необходимостью вычисления площадей. У египтян и вавилонян умножение называлось "а-ша", это же слово означает площадь. Арабы в средневековых математических сочинениях умножение называют "сатх", а это то же самое, что и поверхность (прямоугольника). В Египте система счета была десятичной, числовые знаки имелись только для единицы (горизонтальная черта, образ мерной палки), десяти (иероглиф, изображающий путы), сотни (измерительная веревка), тысячи (цветок лотоса), десяти тысяч (указательный палец), ста тысяч (головастик), миллиона (удивленный человечек) и десяти миллионов (солнце; мы здесь даже вспоминать не хотим некоего Марко Поло, который "первым" принес в Европу из средневекового Китая понятие миллиона). Повторяя эти знаки, египтяне выражали все остальные числа. При строительстве пирамид старались вырезать блоки, измеряемые целым числом локтей, чтобы не пользоваться дробями, но в земледелии этого избегать не удавалось. Знали два арифметических действия, сложить (иероглиф: две ноги, идущие налево) и вычесть (две ноги, идущие направо). Умножали с помощью табличек, путем последовательных удвоений. Например, надо умножить 15 на 13. 1 15 2 30 4 60 8 120 Нужно выбрать множители, сумма которых равна 13. Мы их подчеркнули. Если теперь сложить результаты при подчеркнутых множителях, получится 195. В самом деле, 15х13=195. По той же схеме производили и деление. Например, 195 надо разделить на 15. Пишем табличку удвоений пятнадцати, затем складываем правые числа, чтобы получилось 195. Сумма левых чисел выбранных строчек даст ответ = 13. Отметим, что такое "древнеегипетское" удвоение и деление пополам, как особые арифметические действия, сохранялись в европейских школьных учебниках еще и в XVII веке. Понятие 1/2 и 1/4 возникли в практике людей довольно рано, но не как дроби, а как самостоятельные категории половины, четверти. Дроби типа целого числа с половиной образовывались как разность между следующим целым числом и половиной: 21/2 называлась полтретья. Обратите внимание, в русском языке половина и два - слова разного корня. А когда нас спрашивают, который час, мы отвечаем полтретьего. Так постепенно и неуклонно развивалась математика. Она росла, как цветок, как дерево, как общество, развиваясь и укрупняясь соответственно нуждам людей. Земледельцу для ориентации в своей работе нужна математика и астрономия, астрономии, в свою очередь, нужна более сложная математика. Не позже и не раньше потребного для астрономии времени появился и математический аппарат. Со временем математика получила возможность быть "самостоятельной". Уже она сама становится законодательницей, предлагая свои решения смежным и дальним дисциплинам: географии, землеустройству, астрономии, становясь важным фактором их развития. Хрестоматийный пример: открытие математическими методами планеты Нептун, путем расчета гравитационных возмущений в движениях других планет Солнечной системы. Математика перестала быть подсобной наукой для астрономов, она сама стала диктовать им, куда направлять телескопы. Такой путь проходят ВСЕ науки. Чтобы уничтожить знание, нужно уничтожить людей. Если люди продолжают жить, остается знание. Посмотрите: десятилетиями преследовались в нашей стране такие науки, как астрология, хиромантия и прочие "нетрадиционные" учения. Столетиями изводили колдунов. И что же? Как ни включишь телевизор, сплошной "Третий глаз". Наука впрок Рассказывая о Месопотамии (ныне Ирак), К. Керам с восторгом пишет о вавилонском клинописном тексте, конечный итог которого выражается числом 195 955 200 000 000, "то есть такими числами, которыми не могли оперировать даже во времена Декарта и Лейбница". И тут же рассуждает о более ранних жителях Месопотамии, шумерах (черноголовых). Это они, пишет он, принесли сюда "более высокую, в основном вполне сформировавшуюся культуру, которую они навязали семитам. Но где сформировалась их культура? Этот вопрос затрагивает одну из больших, до конца еще неясных проблем археологии". Вся древняя месопотамская история бесконечно порождает вопросы. Например, каким чудом смогла исчезнуть здесь достигшая колоссальных успехов математика?.. Но вот вопрос еще более удивительный: откуда она тут взялась? Ведь получается, что шумеры "принесли" культуру в Месопотамию, предварительно "унеся" ее целиком и полностью из своих родимых мест, не оставив нигде более на Земле никаких следов своего существования. Мы видим, во-первых, культуру Древней Месопотамии, принесенную неизвестными людьми неизвестно откуда и когда, и впоследствии непонятно почему исчезнувшую, причем не только здесь, но и в тех местностях, откуда пришельцы были родом. Во-вторых, средневековую культуру, достигшую тех же высот и привившуюся повсеместно, в том числе в Месопотамии. Но между "Месопотамиями" древней и средневековой многовековая научная пустыня! Не проще ли сделать вывод, что это одна культура, одно время, одна и та же история, повторенная дважды?.. Система счисления у шумеров, вавилонян и ассирийцев Месопотамии была шестидесятиричной, а цифры десятичными. Тут одновременно использовались две системы счета так же, как в Англии, использующей наряду со своей исконной двенадцатиричной и привнесенную со стороны десятичную. Смешанный счет, когда единицы и десятки записываются в шестидесятиричной системе, очень удобен для астрономии. Для небесных вычислений приходится работать с окружностью, которую легко делить пополам (диаметр), на шесть частей (отсекая точки циркулем, разведенным на радиус), на три части (соединяя через одну точки, полученные при предыдущем делении)... Климат Месопотамии чрезвычайно подходит для наблюдений за небом. И большинство месопотамских текстов, в самом деле, именно астрономического содержания. Здесь было только два значка для обозначения чисел, единица и десять, и несколько дополнительных значков для их группировки. Для записи чисел старших разрядов пользовались теми же значками, что и для низших, но более крупными по размеру. Запись групп аналогична нашей позиционной записи чисел. В поздних текстах появляется "пустой разряд", ноль. Ясно, что если в дальнейшем местные жители отказались от позиционной записи и ноля, то они сделали огромный шаг назад, а был ли он? Не перепутаны ли здесь "умные" предки и "глупые" потомки местами? Сложение и вычитание месопотамцы производили поразрядно, так же, как и умножение, но для этого им надо было знать таблицу умножения от 2 х 2 до 59 х 59, состоящую из 1711 произведений. Это не стало препятствием к распространению математики, так как здешние ученые широко пользовались готовыми таблицами вычислений. Имелись также таблицы обратных величин, квадратных и кубических корней и тому подобного. Среди сохранившихся вавилонских глиняных табличек с расчетами многие - на отдачу денег в рост, то, что мы теперь назвали бы задачами "на проценты". Разница лишь в том, что ростовщики пользовались не единицей от сотни (процент), а единицей от шестидесяти. А ведь предоставление кредитов предполагает хорошо развитую систему финансов, что, в свою очередь, может быть лишь в обществе с высокотехнологичным хозяйствованием и торговлей. Действительно, в этих местностях, как записано в одной из табличек, "купцов было больше, чем звезд на небе". С кем же они торговали и, главное, чем, если окружающие народы лишь через тысячелетия начали выбиваться из дикости? Еще одна большущая загадка, возникающая, если мы желаем остаться на позициях традиционной истории. В математике Древнего Востока мы не находим попыток дать то, что называется теперь доказательством! Здесь есть только предписания в виде правил. Ситуация подобна той, что возникает в техническом вузе, когда студенту дают готовые правила для выполнения стандартных вычислений, не вдаваясь в дебри обоснований. Это возможно только в том случае, если учителя такого студента (или учителя учителей) ранее уже обосновали, доказали правильность положений своей науки. Во многих других частях планеты ситуация сходная. Китайцы пользовались позиционной десятичной системой с девятью символами, но когда ее начали применять? Неведомо. Ноль появился, как полагают, в XIII веке (позже, чем в Европе). Несомненно, здесь была и шестидесятиричная система тоже, что следует хотя бы из китайского календаря с 60-летним циклом. Ранняя индийская система, по мнению специалистов, была десятичной, с отдельными знаками для чисел от 1 до 9, для 10, 20, ...90, 100, 200, ...1000 и 2000. Историк математики Э. Кольман отмечает, что мы хорошо знаем математику Месопотамии, хуже - Египта, и совсем плохо - Индии и Китая. Потому что в Месопотамии писали на глиняных табличках, а они со временем только твердеют; в Египте использовали папирус, материал, сохраняющийся лишь в сухом климате. А в Индии и Китае для записей использовали совсем нестойкие материалы, древесную кору и бамбук. Э. Кольман - специалист, он знает, о чем пишет: "...застойный характер всей культуры этой эпохи ставит перед историками весьма трудную задачу. Нередко трудно или даже невозможно установить время, когда было сделано то или другое открытие, ибо раз установившийся прием передавался по традиции неизменным в течение столетий, а иногда и тысячелетий; документы чаще всего не датированы, и о времени их происхождения приходится судить по косвенным данным". Официальная датировка существующих математических текстов Индии и Китая не опускается ниже первых веков нашей эры (линии № 7 - 9 "синусоиды Жабинского"). Как и в Месопотамии, и в Индии, и в Китае наблюдается уже упомянутый нами феномен: математические тексты и правила зазубривали наизусть. Учение передавалось из поколения в поколение в неизменном виде. Но ведь знания вызываются определенными общественными и экономическими потребностями! Лишь если они получены со стороны "впрок" на будущее, они становятся каноническими, неизменными, застывшими. Есть правила, но нет доказательств; наука превращается во что-то вроде "священного писания", когда надо верить и исполнять, а не рассуждать. Понятно, что это не может быть плодом естественного развития науки в данном обществе. Между тем историки утверждают, что современную десятичную позиционную систему арабы позаимствовали именно в Индии и позже распространили в Европе. Это неправда; позже мы покажем, что в Европе реальную Индию довольно долго вообще не знали, предполагая ее существование, как минимум, в пяти разных местах планеты. Теперь ознакомим читателя с нашими краткими выводами. Математика зародилась в Египте наряду с появившимся там же первичным земледелием. Затем она бурно развивалась в Ромейской (Византийской) империи авторами по имени Аристотель, Архимед, Евклид, Птолемей... Аристотель значит "Наилучший завершитель", Архимед - "Высшее знание", это скорее не имена, а названия научных альманахов. Эта наука, применяясь в земледелии, металлургии, строительстве, астрономии, получала также теоретическое обоснование у арабских ученых, носителей той же европейской культурной традиции, но живших и творивших не в Багдаде, а в Испании, откуда в Западную Европу и попадали тексты на арабском языке. Уже достигнув больших высот, математика вместе с миссионерами Византии и с крестоносцами попала в местность, называемую ныне Месопотамией, получила дальнейшее развитие в трудах среднеазиатских мыслителей, а далее с купцами и миссионерами проникла в Индию и Китай, стимулируя развитие этих стран в мере, обусловленной их экономическими потребностями. 4