ЧАСТЬ 2. 	МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 				ХРОНОТРОНИКИ

"... В последующие годы я не мог себе простить этот недостаток 
выдержки, не позволивший мне одолеть математику хотя бы настолько, 
чтобы разобраться в ее великих руководящих началах; у людей, усвоивших 
эти принципы, одним органом чувств больше, чем у простых смертных..."
Дарвин Ч. Собрание сочинений М.- Л., 1925, т. 1. кн. 1.


ГЛАВА 1.  ПРИНЦИПЫ  ПОСТРОЕНИЯ  И  ИССЛЕДОВАНИЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ  УРАВНЕНИЙ  ДЛЯ  ТОЧЕЧНЫХ  СИСТЕМ
Особенности  эволюционных  уравнений,  элементы  качественной 
теории эволюционных систем второго порядка, методы упрощения 
систем  эволюционных  уравнений, теория  катастроф, странный 
аттрактор, фракталы, структура, хаос, симметрия


Эволюционный процесс математически можно описывать векторным полем скоростей в фазовом пространстве. Под фазовым пространством мы будем понимать пространство основных параметров, определяющих поведение системы. Точка фазового пространства задает состояние системы. Приложенный в этой точке вектор указывает скорость изменения данного состояния.
Кривые в фазовом пространстве, образованные последовательными состояниями процесса, называются фазовыми кривыми.
В некоторых точках вектор скорости может обращаться в нуль. Такие точки называются положениями равновесия (состояние не меняется с течением времени). Периодические процессы изображаются замкнутой кривой на фазовой плоскости. Эта кривая называется предельным циклом.
Системы, описывающие реальные эволюционные процессы, всегда зависят от разных параметров, которые никогда не бывают известны точно. Поэтому малое общее изменение параметров превращает систему необщего положения в систему общего положения, то есть для всех случаев, кроме некоторых исключительных.
1. Особенности эволюционных уравнений
Автономные точечные модели можно описать системой обыкновенных дифференциальных уравнений:
dxi /dt =Fi(x1, x2, ..., хn) (i = 1, 2, ..., n).       (1.1) 
Величины Fi(x1, x2, ..., хn) - нелинейные функции определяющих эволюцию системы переменных хi (ia caaenyuea yaii io a?aiaie t), обычно они состоят из нескольких слагаемых, описывающих баланс разных факторов, влияющих на эволюционную систему. Положительные члены описывают прибыль компонента хi , отрицательные - убыль. Для построения системы достаточно знать скорости притока и оттока каждого компонента и их зависимость от переменных хi.
Модели типа (1.1) являются простейшими. Можно указать два пути их развития и усложнения.
Первый. В случае распределенных систем необходимо учесть градиенты концентраций хi. Достаточно общими моделями таких систем являются квазилинейные уравнения параболического типа, которые описаны в главе 2.
Второй. Если система находится при изменяющихся внешних условиях (например, периодических или случайно меняющихся), то задача становится неавтономной. При этом сначала строится и исследуется автономная модель; затем, в зависимости от характера переменного внешнего воздействия, либо добавляются новые члены, явно зависящие от времени, либо постоянные коэффициенты заменяются переменными, также явно зависящими от времени.
Модели типа (1.1) хорошо известны при решении задач химической и биологической кинетики. Мы будем пользоваться результатами, полученными в этих областях, указав лишь некоторые различия, присущие задачам "социальной кинетики".
1. В исследованиях по общественным наукам, в зависимости от задачи, используются различные переменные. Например, в экономике - это денежные, товарные или энергетические потоки, в социологии - численность различных социальных групп, в экологии - количество ресурсов и т. п.
2. Очень часто процессы, идущие в социальных системах, разбиваются на ряд элементарных стадий, скорости которых зависят от динамических переменных достаточно просто, т. е. нелинейные функции Fi(x1, x2, ..., хn) представимы в виде полиномов сравнительно низкой степени. Степень полинома в уравнении совпадает с порядком процесса.
3. В общественных науках при описании различных процессов часто идут процессы авторепродукции (эквивалентные тем, что наблюдаются в биологических процессах).
4. Пространственная неоднородность и связанные с нею эффекты играют в ряде социальных процессов большую роль, так как большинство этих процессов локализовано в определенных участках пространства, которые отделены друг от друга определенными границами. Эта гетерогенность пространства, разделение его на "кластеры", имеет очень важное, а во многих вопросах определяющее значение.
5. В общественных науках, число участвующих в социальных процессах объектов может быть достаточно малым, даже порядка единицы. При этом в качестве динамических переменных удобнее использовать вероятность застать объект в том или ином состоянии.
6. Часто высказывается мнение о том, что процессы, изучаемые общественными науками, много сложнее, например, биологических. Это, несомненно, так. Но мы не достигли бы успеха и в процессах, изучаемых в естественных науках, если бы не знали, как выделить основное в них, не обращая внимание на второстепенное. Критерием простоты является не число элементарных стадий в рассматриваемом процессе, а возможность эффективного упрощения исходной системы, уменьшения числа уравнений и числа динамических переменных. В этом смысле социальные процессы даже более просты, чем процессы, изучаемые естественными науками.
2. Элементы качественной теории 
эволюционных систем второго порядка
Давайте рассмотрим математические методы исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений типа (1.1). Правые части в них, как мы уже упоминали, нелинейные функции эволюционных переменных, поэтому точное аналитическое решение уравнений можно получить далеко не всегда. В общем случае задача может быть решена лишь приближенно с помощью численных экспериментов. Однако для исследования поведения модели не обязательно проводить точный количественный расчет, а можно (и часто даже нужно) ограничиться качественной картиной явлений.
Большинство моделей - это системы второго порядка или сводящиеся к ним. Поэтому рассмотрим динамическую систему вида
dx/dt = P(х, у),    dy/dt = Q(х, у)     (1.2) .
Здесь Р и Q - непрерывно дифференцируемые в некоторой области плоскости (х,у) функции двух переменных. Для качественного исследования оказывается удобным рассматривать х и у как координаты изображающей точки на фазовой плоскости. Решению уравнений (1.2) x=x(t), у = у(t) соответствует движение изображающей точки по фазовой траектории. Совокупность фазовых траекторий, соответствующих различным начальным условиям, называется фазовым портретом системы.
Для построения фазового портрета находят семейство интегральных кривых уравнения
dy/dx=Q(x, у)/Р(х, у),         (1.3)
полученного из (1.2) исключением времени t. По теореме Коши (о существовании и единственности решения начальной задачи для дифференциального уравнения первого порядка) через каждую точку фазовой плоскости может проходить только одна интегральная кривая, наклон которой в этой точке определяется уравнением (1.3). Исключение составляют лишь особые точки, в которых одновременно
Р(х, у) = 0, и Q(x, у) = 0.        (1.4)
Векторное поле P(х, у)i + Q(х, у)j качественно имеет следующий вид. В точках на линии P(х, у)=0 вектор скорости вертикален, а на линии Q(х,у)=0 - горизонтален. В других точках плоскости направление векторов определяется, очевидно, с точностью до некоторой вариации в пределах соответствующего квадранта. В точках пересечения линий P(х, у)=0 и Q(х, у)=0 вектор скорости равен нулю. Угол наклона в этих точках не определен (dy/dx = 0/0), поэтому здесь может пересекаться несколько (и даже бесконечно много) интегральных кривых. Особые точки уравнения (1.3) соответствуют положениям равновесия системы (1.2) или, иначе говоря, стационарным решениям. Решения (1.4) x = xст = const, у = уст = const называются стационарными решениями.
Если уравнение (1.3) имеет аналитическое решение, найти фазовые траектории не представляет труда. В противном случае построение фазового портрета производят качественно, например, с помощью метода изоклин. Изоклины - это линии, которые пересекаются интегральными кривыми под одним и тем же углом. Их уравнение dy/dx = const. Особый интерес представляют главные изоклины - изоклины горизонтальных и вертикальных касательных. Для изоклины горизонталей имеем
dy/dx = 0, или Q(х, у) = 0;
для изоклины вертикалей
dy/dx = (, или Р(х, у) = 0.
На пересечении главных изоклин располагаются особые точки.
В принципе, построив много изоклин, можно с большой точностью воспроизвести фазовый портрет, однако качественную оценку обычно можно сделать, зная лишь расположение главных изоклин и характер устойчивости особых точек.
Для исследования устойчивости особых точек рассматривают линеаризованную систему дифференциальных уравнений, которая описывает движение вблизи положения равновесия. Разложив правые части системы (1.4) по формуле Тейлора по степеням х' и у' - малых отклонений от стационарных значений хст и уст (х' = х - хст, у' = у - уст), получим линеаризованную систему
dх'/dt = a11х' + a12у    dу'/dt = a21х' + a22у' ,      (1.5)
где отброшены все члены, начиная с квадратичных по х' и у'.(Если линейные члены в разложении по х' и у' отсутствуют, то анализ системы усложняется.) Коэффициенты aij есть значения соответствующих частных производных первого порядка от функций P(х, у) и Q(х, у) в стационарных точках.
Линейная система (1.5) имеет нетривиальное решение
х' = х'0 еpt,        у'=у'0 еpt,
если р является корнем характеристического уравнения
(a11 - p)(a22 - p) - a12a21 = 0        (1.6)
Значения р1 и р2 , полученные как решения уравнения (1.6), определяют характер движения вблизи особых точек исходной нелинейной системы (1.2), если только ни одно из значений р не обращается в нуль. В последнем случае приходится исследовать приближения более высокого порядка.
Итак, рассмотрим возможные комбинации значений р1, р2, и соответствующие им типы особых точек.
1. Дискриминант характеристического уравнения 
D = 4a12a21 + (a11 - а22)2 ( 0.
Оба корня р1, p2 действительны. При этом могут быть следующие ситуации.
а) р1 < 0, p2 < 0. Решение (1.5) представляется в виде убывающих экспонент, т. е. система, выведенная из положения равновесия, снова стремится к нему. Особая точка в этом случае называется устойчивым узлом.
б) р1 > 0, р2 > 0 - неустойчивый узел: при любых начальных отклонениях система удаляется от положения равновесия.
в) Корни имеют разные знаки - особая точка неустойчива и носит название седла. Через нее проходят только две интегральные кривые - сепаратрисы.
г) Для случая, когда один из корней, р1 или p2, равен нулю, исследование более высокого приближения показывает, что в нелинейной системе в этом случае могут существовать более сложные особые точки, такие, например, как седло-узел.
2. Дискриминант характеристического уравнения D < 0. Корни комплексно-сопряженные. Обозначим их р1,2 = ( ( i(. Рассмотрим разные случаи.
а) ( < 0. В системе будут происходить затухающие колебания. На фазовой плоскости это соответствует семейству спиралей, накручивающихся на особую точку, которая в этом случае называется устойчивым фокусом.
б) ( > 0 - неустойчивый фокус, соответствующий нарастающим по амплитуде колебаниям.
в) ( = 0. В системе происходят незатухающие колебания; особая точка носит название центра. Фазовые траектории в этом случае - вложенные друг в друга эллипсы. Значение параметра ( = Reр = 0 является критическим, так как при переходе от положительных ( к отрицательным фазовый портрет качественно меняется (от неустойчивого фокуса к устойчивому). Это значение параметра называется бифуркационным. Сама же система при ( = 0 является, по определению А. А. Андронова, "негрубой" [2].
Перейдем теперь от исследования движений вблизи отдельной особой точки к построению траекторий системы на всей фазовой плоскости или в некоторой ее области, ограниченной условиями задачи. При этом мы не будем рассматривать все возможные виды фазовых траекторий, а ограничимся теми, которые наиболее интересны с точки зрения качественного анализа.
Куда устремляются фазовые траектории из неустойчивых точек? Прежде всего, очевидно, в бесконечность или к устойчивым особым точкам. Но, кроме того, в нелинейных автономных системах могут также существовать устойчивые колебательные движения, или автоколебания. На фазовой плоскости этим движениям соответствуют замкнутые траектории, охватывающие особую точку и называемые предельными циклами. Их может быть несколько, окружающих данную точку, причем устойчивые циклы (к которым изнутри и снаружи стремятся фазовые траектории) чередуются с неустойчивыми.
В "грубой" динамической системе 2-го порядка "стоки" и "источники" фазовых траекторий могут существовать только в виде особых точек (типа узла или фокуса) и предельных циклов. Существенную роль в построении фазовых портретов играют упоминавшиеся выше сепаратрисы седел. Совокупность сепаратрис и предельных циклов делит фазовую плоскость на элементарные ячейки, внутри которых все траектории ведут себя подобным образом (или, как говорят, они топологически подобны). Таким образом, качественное построение фазового портрета в принципе возможно, если определены особые точки, предельные циклы и сепаратрисы.
Однако нахождение предельных циклов и сепаратрис в общем случае сопряжено со значительными трудностями, на которых мы сейчас не будем останавливаться.
Пусть мы имеем одну особую точку на фазовой плоскости. Недостаточно исследовать только характер ее устойчивости, а обязательно также проверяется устойчивость бесконечно удаленных точек. Если же и особая точка, и бесконечность неустойчивы, то в системе обязательно должен существовать хотя бы один устойчивый предельный цикл. В этом случае мы имеем дело с автоколебательной системой.
Если на фазовой плоскости, доступной системе, существует три состояния равновесия, два из которых устойчивы, то, по аналогии с радиотехникой, такие системы носят название триггерных. Две точки являются устойчивыми узлами, а третья - седлом. Сепаратриса делит фазовую плоскость на зоны притяжения устойчивых точек. Важная особенность таких систем состоит в том, что они остаются сколь угодно долго в одном из устойчивых состояний, пока большое внешнее воздействие не "перебросит" изображающую точку через сепаратрису. Этот переброс можно осуществить либо непосредственно воздействуя на координаты, либо когда на некоторое ограниченное время система существенно изменяет свой вид. Например так, что в ней остается лишь одна устойчивая особая точка, а та, в которой до этого времени находилась изображающая точка, перестает быть особой. Точка начинает двигаться к новому положению равновесия, и когда она уже пересечет прежнюю сепаратрису - можно снова вернуть систему в исходное состояние.
Использование ЭВМ позволяет производить следующий качественный анализ систем второго порядка. (Этот метод был разработан С. А. Стебаковым еще в начале 50-х годов [53]). Если каждая траектория однократно пересекает дугу линии P(х,у)=0, не пересекающуюся с линией Q(х,у)=0, то такая дуга будет называться дугой однократной проводимости. (Аналогично - для дуги Q(х,у)=0.)
Очевидно, для того, чтобы линия P(х,у)=0 (Q(х,у)=0) была дугой однократной проводимости, необходимо и достаточно, чтобы функция у = ((х) (х = ((у)), полученная из уравнения P(х,у)=0 (Q(х,у)=0)   была однозначной. Если линия является траекторией, то мы имеем нулевую проводимость. Область, ограниченная этими линиями, называется руслом. Фазовый поток, выходящий из берегов при изгибе русла, может быть снова введен в него, посредством обратного изгибания русла.
В области точки покоя (P = 0 и Q = 0) может сложиться ситуация, когда фазовая траектория будет сходящейся к этой точке (такая траектория называется гравитационной спиралью). При этом на каждом звене гравитационной спирали, в каждой его внутренней точке, поле Pi+Qj направлено внутрь соответствующей области.
Если в некоторой окрестности точки покоя удается построить гравитационную спираль, то мы можем судить об устойчивости точки покоя в этой окрестности. Если гравитационную спираль можно построить в некоторой кольцевой области, окружающей точку покоя, то можно судить о притяжении поля в этой области. Аналогично и в случае отталкивания, т. к. отталкивание для точки покоя, совпадающей с началом координат, - это притяжение для бесконечно удаленной точки.
Если на фазовой плоскости имеется несколько концентрически расположенных кольцевых областей, в которых притяжение противоположно, то между каждой парой таких областей находится по крайней мере один цикл, устойчивость или неустойчивость которого зависит от направлений притяжения в кольцевых областях (надо выполнить еще ряд условий, например, в рассматриваемой области должна существовать лишь одна конечная точка покоя).
Отсюда следует, что в каждой кольцевой зоне должен быть расположен по крайней мере один цикл, так как внутри и вне этой зоны (в некоторой его окрестности), направление притяжения противоположно.
Если линии P = 0 и Q = 0 - биссектрисы координатных углов, то гравитационной спиралью будет квадрат.
Подход, развитый С.А. Стебаковым, позволяет не просто проанализировать конкретную систему, но и сделать определенные выводы о возможностях управления фазовыми потоками посредством воздействия на P и Q, чтобы иметь наперед заданное решение.
В системах третьего и более высоких порядков поведение фазовых траекторий может быть существенно более сложным. Прежде всего, здесь появляются сложные неустойчивые особые точки типа седло-фокус или седло-узел. Если при этом два корня характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть, а третий положителен, то фазовые траектории, лежащие на некоторой поверхности, проходящей через особую точку, будут стремиться к этой точке, но движение по ним будет абсолютно неустойчиво, так как все траектории вне этой поверхности неограниченно расходятся. Если же действительная часть пары комплексно-сопряженных корней положительна, а третий корень отрицателен, траектории из всего пространства сходятся к избранной поверхности, но зато на ней - расходятся от особой точки.
Другой интересный класс явлений связан с понятием "странный аттрактор". Вообще аттрактором называется область фазового пространства, в которую стремятся со временем все траектории (из некоторой конечной или бесконечной области притяжения данного аттрактора). Странный аттрактор отличается от простых аттракторов (устойчивых особых точек и предельных циклов) тем, что все его траектории неустойчивы и с течением времени перемешиваются, оставаясь в пределах области аттрактора. Отметим, что простых аттракторов в этой области не существует. Эволюционное поведение системы, обладающей странным аттрактором, представляется непредсказуемым, квазистохастическим.
Очень часто квазистохастическое поведение наблюдается в различных социальных системах не из-за наличия в системе странных аттракторов, а в силу возможности адекватного их описания лишь на ограниченных интервалах времени. Они просто не успевают за время описания достичь устойчивых состояний.
3. Методы упрощения систем эволюционных уравнений
Упрощение математической модели заключается в уменьшении числа уравнений и, вместе с этим, числа параметров, определяющих поведение системы. Даже сравнительно простые социальные процессы состоят из многих стадий и содержат большое количество промежуточных результатов. Математическая модель, буквально соответствующая цепи социальных процессов, будет содержать много переменных и, соответственно, уравнений. С другой стороны, большинство удачных и содержательных математических моделей может состоять из двух-трех нелинейных уравнений. Обсудим методы редукции системы большого числа уравнений к системе значительно более низкого порядка.
Пусть нам удалось после ряда преобразований и выбора соответствующих масштабов представить систему (1.1) в виде
(2dxi /dt = Fi(x1, x2, ... xn),        i = 1, ..., l;    		(1.7a)
( dxj /dt = Fj(x1, x2, ... xn),     j = l + 1, ..., l+m;		(1.7б)
dxk /dt = Fk(x1, x2, ... xn),     к = l + m+ 1, ..., n,		(1. 7в)
т. е. расположить ее по степеням малого параметра ( при производной. Легко заметить, что коэффициенты ( и (2 фактически определяют скорости изменения переменных. В самом деле, систему (1.7) можно представить также в виде
dxi /dt = Fi/T1,   dxj /dt = Fj/T2,    dxk /dt = Fk/T3,
где Т1= (2, Т2= (, T3= l. Если мы интересуемся поведением всех переменных, как на малых отрезках времени порядка (2, так и на временах порядка единицы, то нам необходимо исследовать полную систему (1.7). Если же нас интересуют явления, происходящие в системе на средних временах, то в этом случае уравнения (1.7а) с постоянной времени (2 будут описывать очень быстрые процессы, а уравнения (1.7в), наоборот, очень медленные (по сравнению с временем Т2) процессы. Относительно последних можно сказать, что за время Т2 начальные значения хk не успевают заметно измениться, т. е. в оставшихся уравнениях эти медленные переменные можно заменить постоянными (начальными) значениями. Тем самым, порядок системы (1.7) снижается.
Оставшуюся систему l + m уравнений можно редуцировать дальше. Поскольку Т1 - время установления переменных хi - много меньше характерного времени Т2 системы (1.7б), то эти переменные достигнут своих стационарных значений раньше, чем переменные хj успеют заметно измениться (для этого, конечно, обязательно, чтобы система (1.7a), описывающая быстрые процессы, имела устойчивое стационарное состояние). Заменив теперь в уравнениях (1.7б) хj на их стационарные значения, мы снова понизим порядок системы и оставим лишь m дифференциальных уравнений, характерные времена которых одного порядка (~Т2).
Вопрос о том, как в реальной системе определить характерные времена, отнюдь не прост и решается в зависимости от вида уравнений. Приведем формулировку известной теоремы Тихонова и обсудим ряд следствий из нее. Запишем систему N уравнений, часть из которых содержит малый параметр (  при производной:
( dxp /dt = Fp(x1, ... xr, xr + 1 ... xN),   xp(0)= х0p , p = 1, ... ,r     (1.8а)
dxq /dt = Fq(x1, ... xr, xr + 1 ... xN),    xq(0)= х0q , q = r + 1, ... ,N    (1.8б)
Правые части приведенных выше уравнений будем предполагать непрерывными вместе с частными производными по всем переменным в некоторой области пространства Rn. Назовем систему (1.8a) присоединенной. При ( =0 она вырождается в алгебраическую систему
Fp(x1, ... xr, xr + 1 ... xN)=0,   p = 1, ... ,r  (1.9).
Пусть выполнены следующие условия:
1)  система (1.9) имеет в некоторой ограниченной замкнутой 
области D изменения переменных xr + 1 ,..., xN   изолированный непрерывный корень
х1=(1(хr+1, ... , хN), ... , хr=(r(хr+1, ... , хN) (1.9a);
2) при всех значениях  переменных хr+1, ... , хN   yoio ei?aiu - onoie?eaay eciee?iaaiiay iniaay oi?ea i?eniaaeiaiiie nenoaiu (1.8a);
3) начальные условия х01, х02, ..., х0r попадают в область влияния устойчивой особой точки присоединенной системы;
4) решения исходной задачи (18) и вырожденной (редуцированной) задачи 
хp=(p(хr+1, ... , хN), p = 1, ... ,r
dxq /dt = Fq(x1, ... xr, xr + 1 ... xN), xq(0)= х0q ,q = r + 1, ... , N
существуют и единственны на некотором интервале.
Теорема Тихонова утверждает, что при соблюдении перечисленных выше условий решение задачи (1.8) при ( ( 0 стремится к решению вырожденной задачи.
В моделях социальных процессов условия (1), (3) и (4), как правило, выполняются. Однако, условие (2) нарушается в широком классе моделей. Это имеет место, например, когда притягивающая изоклина имеет S-образную форму, так что стационарные состояния на ее промежуточной ветви (где dy/dx > 0) неустойчивы. В этом случае редукция по Тихонову возможна лишь в ограниченных областях фазового пространства.
Заметим, что число начальных условий вырожденной системы меньше, чем полной: все начальные значения быстрых переменных оказываются "лишними" и никак не фигурируют в вырожденной системе. Теорема утверждает, что если выполнено условие (3), то результат не зависит от начальных условий для переменных присоединенной системы. Рассмотрим следующий пример.
Пусть мы имеем систему двух уравнений
dx/dt = P(x, у),     ( dy/dt = Q(x, у).    (1.10)
Применим к системе (1.10) теорему Тихонова. Будем считать, что Р(х,у) и Q(х,у) таковы, что условия (1) - (4) выполнены. Присоединенной системой будет в нашем случае второе уравнение (1.10). Его стационарное состояние определяется уравнением Q(х, у) = 0, корень которого
у = уст(х).			(1.11)
Эта функция, как мы уже знаем, представляет собой изоклину горизонталей. Подставляя (1.11) в первое из уравнений системы (1.10), получаем вырожденную систему, сводящуюся к уравнению
dx/dt = Р(х, уст(х)).	(1.12)
Это уравнение описывает одномерное движение изображающей точки, а именно, медленное движение вдоль интегральной кривой Q = 0. Быстрые движения по вертикалям вырожденная система вообще не описывает, в связи с чем начальное условие для быстрой переменной у0 в вырожденной системе не фигурирует.
Отсюда видно, в какой мере и в каких интервалах изменения аргумента t решение вырожденной системы близко к решению полной. В этом примере стационарное состояние как полной, так и вырожденной системы - устойчивый узел.
Возможности упрощения исходных систем имеются в случае вырождения, когда все времена имеют одинаковый порядок, и можно выделить такую область параметров и переменных, в которой есть возможность дополнительно понизить порядок системы. Это имеет место вблизи точки бифуркации, когда одно из характеристических чисел р (или его вещественная часть) обращается в нуль и меняет знак. Одновременно меняется топология фазового портрета, в частности, число особых решений.
Можно сформулировать две "теоремы сведения", одну - для бифуркаций седлового типа и другую - для бифуркаций фокусного типа. Подчеркнем, что теоремы сведения носят локальный характер, они справедливы в ограниченной области фазового пространства, где отклонения переменных от стационарных значений достаточно малы, в отличие от теоремы Тихонова, имеющей глобальный характер.
Начнем с седловой бифуркации. Пусть система n-го порядка (1.1) имеет устойчивую особую точку (все корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части). Пусть при изменении параметров одно из характеристических чисел р1=(  (|(|<<1), будучи чисто вещественным, проходит через нуль и становится положительным, тогда как вещественные части остальных характеристических чисел остаются отрицательными (Repi < 0, i > 1) и большими (|Reрi| >> |(|).
Мы не предполагаем здесь, что особая точка изолирована, более того, в общем случае при изменении параметров в окрестности особой точки обязательно имеются (или появляются) другие особые точки. Рассматриваемая особая точка при этом может исчезнуть. В этой связи разлагать правые части (1.1) по отклонениям переменных от особой точки не корректно. Можно, однако, использовать разложение вблизи какой-либо другой точки, находящейся в окрестности особой. Учитывая это, систему (1.1) можно представить в виде
dx1/dt = ( - ( х'1 + {х'2}1 + {х'3}1 +...
   dxi/dt = аiх'i + {х'2}i + {х'3}i + ...       ( i = 2, 3, ..., n)   (1.15)
Здесь х'i (i > 1) - отклонения переменных от их стационарных значений: х'i = хi - хi ст; х'1 - отклонение х1 от некоторого значения, отстоящего от стационарного на величину порядка (; ( - параметр, связанный с ( (он имеет порядок (2). Фигурными скобками обозначены полилинейные формы типа: {х'2} = (bklх'kх'l; {х'3} =(bklmх'kх'lx'm и т.д. Разделим все уравнения (1.15) на ( и введем новое время t' = (t:
dx1/dt' = (' - х'1 + (()-1{х'2}1 + (()-1{х'3}1 +...,	(1.16a)
(dxi/dt' = аiхi' + {х'2}i + {х'3}i +...  		(1.16б)
Система (1.16б) является присоединенной с устойчивой особой точкой хi = 0 (i = 2, 3,..., n). Поэтому, согласно теореме Тихонова, можно положить ( = 0 и
хi' = [{х'2}i + {х'3}i +... ]ai-1 			(1.17)
Подставим х'i в уравнение (1.16a) и перейдем снова к времени t. При этом получим
dx'1/dt = ( - (х'1+bх'12+сх'13+о(х'14),		(1.18)
где под о(х'14 ) подразумеваются члены порядка малости х'14 и выше.
Теперь, чтобы исследовать характер бифуркаций в полной системе (1.16), нужно изучить, как меняется тип особой точки в зависимости от параметров (, (, b и с всего лишь одного уравнения (1.18). В этом и состоит теорема сведения.
Выясним, какие классы бифуркаций возможны в данном случае.
а) Вблизи бифуркационных значений параметров уравнение
( - ( х'1 + b х'12 + c х'13 = 0			(1.19)
имеет один вещественный корень х'1 и два комплексных корня с малыми мнимыми частями и одинаковыми вещественными частями, близкими к х'1. В пределе такая ситуация описывается полиномом (1.19) при ( = b = 0. В первом важном случае (c < 0) при ( > 0 имеется одно устойчивое состояние равновесия х'1 = 0. При ( < 0 это состояние становится неустойчивым, но рядом с ним появляются два устойчивых: х'+ -- ст = (((/с)1/2. Это значит, что система (1.18) становится триггерной и описывает поведение полной системы (1.16) в области изменения переменных |х'1| ( (|(|/c)1/2 при неограниченных временах t. Эволюция системы при переходе ( через нуль совершается плавно. Такой процесс можно назвать мягким переходом в новое состояние. В другом случае (с > 0) при ( > 0 имеются три близких стационарных состояния, из них среднее (х'1 = 0) устойчиво. При ( < 0 боковые состояния исчезают, а среднее становится неустойчивым; при этом область применимости редуцированной системы (1.18) узка - она ограничена значениями х'1 ( ((/c)1/2 и временами порядка t ~ (-1.
б) Пусть теперь реальные части комплексных корней и вещественный корень х'1 существенно различаются. Тогда в результате бифуркации в системе (1.16) возникают или исчезают два близких стационарных состояния х'+,- расположенных далеко от третьего - х'1. В этом случае в (1.19) можно пренебречь членом сх'13. Тогда положения точек 1 и 2 приближенно определяются корнями квадратного уравнения
х'ср +,- = [( ( ((2 - 4аb)1/2](2b)-1.
Проследим бифуркацию при изменении знака (. Если (b > 0, то при ( > 2((b)1/2 имеется одно устойчивое состояние (х'-) и одно неустойчивое (х'+) вблизи него на расстоянии ~ (/b. В интервале -2((b)1/2 < ( < 2((b)1/2 оба стационарных состояния исчезают и появляются вновь при ( < -2((b)1/2. В последнем случае левое состояние устойчиво, а правое неустойчиво. При эволюции параметров происходит "аннигиляция" двух стационарных состояний и система движется к третьему устойчивому состоянию. Последнее, однако, расположено вдали от области х'1 ~ ( (х'1 ~ -b/c), и этот процесс уже не описывается одним уравнением (1.1). Таким образом, происходит "жесткое" возбуждение нового режима. Область применимости теоремы сведения при этом очень узка - она ограничена значениями х1' ~ ( и временами t ~ (-1.
Наибольшей областью применимости теоремы сведения при бифуркациях седлового типа обладают системы, которые приближенно описываются уравнением вида
dx'1/dt = - (х'1 - с х'13, (с > 0).
Выше предполагалось, что вдали от бифуркации характерные времена изменения х'i и х'1 одного порядка. В частном, но важном случае, переменная х'1 может оказаться "быстрой", т. е. ее характерное время T1 << 1. Тогда изложенное выше справедливо в области ( << T1, и теряет силу при ( ( T1. Однако утверждение о том, что задача сводится к одномерной, остается верным и в последнем случае, т. е. в области фазового пространства, где точка движется по координате х1, а остальные рассматриваются как параметры.
Рассмотрим теперь теорему сведения для бифуркации фокусного типа. Пусть с помощью линейной замены переменных система (1.1) приведена к виду
dx'1/dt = а11х'1 + а12х'2 + {х'2}1 + {х'3}1 +...,		
dx'2/dt = а21х'1 + а22х'2 + {х'2}i + {х'3}i +...		(1.20a)
dx'i/dt = (аijx'j + {х'2}i + {х'3}i +...    (i = 3, 4, ..., n)	(1.20б)
При этом а12 = -а21 = а, |а11| ~ |а22| ~ (. Тогда характеристические корни линеаризованной системы (1.20) представляются в виде р1,2 = -( ( ia. Пользуясь малостью величин а11 и а22, можно показать, что и в этом случае подсистема (1.20б) является присоединенной, а вся система (1.20) редуцируется до двух уравнений, содержащих только переменные х'1 и х'2.
В отличие от предыдущего, в данном случае стационарное состояние является изолированным, независимо от наличия или отсутствия квадратичных членов {х'2}1,2 Область применимости двумерного приближения зависит от нелинейных членов. Если ( < 0, то в системе возникает мягкое возбуждение. При наличии предельного цикла область значений х1,2 в которой справедлива теорема сведения, ограничена величинами порядка амплитуды предельного цикла и не ограничена по времени. В противном случае она ограничена условиями |x1,2'| <(()1/2 и t( (-1.
Рассмотренные бифуркации не сводимы друг к другу. Вблизи других, более сложных бифуркаций, n-мерная модель может быть заменена эквивалентной трех-, четырех- и k-мерной, в зависимости от сложности бифуркаций.
4. Теория катастроф
Теория бифуркаций близка в идейном отношении к теории "катастроф". Сам термин, а также ряд основных понятий этого направления, были предложены Рене Томом. Теория катастроф имеет как методологический, так и чисто практический аспекты и ей посвящена богатая литература. Наша цель - обсудить здесь простейшие катастрофы в связи с математическими моделями, которыми мы занимаемся.
Схема применения теории катастроф такова. Предполагается, что изучаемый процесс описывается при помощи некоторого числа (n) управляющих и внутренних параметров. Состояния равновесия процесса образуют поверхность того или иного числа измерений (k) в рассматриваемом пространстве параметров. Проекция поверхности равновесий на плоскость управляющих параметров (являющуюся в простейшем случае линией с размерностью, равной единице) может иметь особенности. Предполагается, что это - особенности общего положения - то есть для всех случаев, кроме некоторых исключительных. В таком случае теория особенностей предсказывает геометрию "катастроф", т.е. перескоков из одного состояния равновесия в другое при изменении управляющих параметров.
Пусть n - минимальное число уравнений в переменных х1, ... хn, которое необходимо, чтобы описать локальное состояние равновесия процесса с числом параметров k, которые нужно учитывать (и определяющееся степенью вырождения стационарного состояния). Тогда, k = n - 1 называется коразмерностью катастрофы. Есть иерархия вырождений по коразмерностям (и стратегия их исследования). Вначале следует изучать случаи общего положения, затем вырождения коразмерности один, затем два и т.д. При этом исследование вырожденных систем не должно ограничиваться изучением картины в момент вырождения, но должно включать описание перестроек, происходящих, когда параметр, меняясь, проходит через вырожденное значение.
Состояние системы, испытывающей катастрофу, описывается (в простейшем случае) тремя числами: двумя координатами (они называются управляющими параметрами) и еще одним числом, называемым внутренним параметром системы. Рассмотрим систему в таком трехмерном пространстве состояний. Состояния, при которых система находится в равновесии, образуют в этом пространстве гладкую поверхность. Будем проектировать эту поверхность на плоскость управляющих параметров вдоль оси внутреннего параметра. Уитни [44] заметил, что в случаях "общего положения" встречаются особенности лишь двух видов. Все другие особенности разрушаются при малом шевелении тел или направлений проектирования, в то время как особенности этих двух видов устойчивы и сохраняются при малых деформациях отображения. Это проектирование имеет складки и сборки. Проекция точек складок и есть кривая катастроф.
Пусть модель имеет лишь одну переменную х:
dx/dt = P(х) или dx/dt = -dV(x)/dx,   	(1.21)
где V(х)= -. Чтобы изучить движение системы вблизи локальных экстремумов V(х), функцию Р(х) разлагают в ряд около стационарных состояний и ограничиваются несколькими младшими членами разложения. dx/dt = P(x) = 0 - задает поверхность в этом пространстве. Размерность этой поверхности равна k.
Рассмотрим простейшие случаи.
1. Особая точка изолирована, не вырождена и устойчива. В этом случае минимальная модель имеет вид
Р(х)= -х,   V(x)= x2/2   (n = 1, k = 0).		(1.22)
Здесь и ниже х - это отклонение от стационарного состояния. Форма dx/dt = -х является в этом случае общей и к ней локально может быть приведена любая одномерная модель путем выбора масштабов х, t и сдвига х = х' + а.
2. Слияние двух особых точек. Тогда минимальная модель
Р(х) = u1 + х2,  V(x)= - u1х - x3/3  (n=2, k =1)	(1.23)
Форма Р(х) в (1.23) также является общей и к ней приводится любой квадратичный полином. При u1 < 0 имеются два стационарных состояния, одно из которых устойчиво, а другое неустойчиво. При u1 = 0 они сливаются, и при u1 > 0 оба исчезают. При изменении параметра в обратном направлении, напротив, появляются две особые точки. Эта ситуация именуется катастрофой типа "складки".
Поясним теперь, каким образом можно пользоваться образами теории катастроф при изучении математических моделей. Сделаем это на примере модели второго порядка, содержащей переменные х и u1. Пусть х является быстрой переменной, но исключить ее нельзя, так как быстрый процесс не везде устойчив. "Складка" соответствует модели:
(du1/dt = Q(u1,х),   			(1.24а)
dx/dt = Р(u1,х) = -u1 + х2,		(1.24б)
где ( >> 1; характерное время изменения х принято за единицу. Изоклина P = 0 имеет устойчивую ветвь - аттрактор в форме складки (откуда ясно происхождение этого термина). При медленном изменении и, в соответствии с (1.24a), при достижении значения u1 = 0 происходит срыв изображающей точки и перескок на другой устойчивый аттрактор ("катастрофа").
Подчеркнем, что форма функции Р(х) (и потенциала V) является общей или универсально деформируемой. Она не изменяется при малых деформациях. Иными словами, характер катастрофы остается структурно устойчивым, так как сливаются две (и только две) особые точки. Понятие структурной устойчивости в теории катастроф имеет важное методологическое значение.
В идейном отношении оно соответствует понятию "грубости" модели, введенному Андроновым еще задолго до появления "теории катастроф". Значение его заключается в том, что качественные выводы, полученные на основе грубой (или структурно устойчивой) модели, являются общими и остаются справедливыми, даже если параметры модели определены не точно или варьируются от случая к случаю. В общественных науках это свойство особенно важно.
Катастрофы типа складки появляются в моделях, описывающих релаксационные автоколебания, так называемые "ждущие" режимы и триггерные. В распределенных системах модели типа складки используются для описания автоволновых процессов и диссипативных структур.
3. Слияние трех особых точек. Тогда минимальная модель имеет вид
Р(х) = х3 + u1х+ u2    V(х) = -х4/4 - u1х2/2 - u2х	(1.25)
 		(n = 3, k = 2).
Здесь Р - кубический полином, зависящий от двух параметров - u1, и u2. Соответствующая математическая модель содержит три переменные. Изоклинная поверхность dx/dt = 0 (аттрактор) имеет сборку, вершина которой соответствует слиянию трех особых точек, что имеет место при u1 = u2 = х =0. На ребрах сборки имеют место катастрофы типа складки. Таким образом, в трехмерном фазовом пространстве складке соответствует более мощное множество, нежели сборке. Модели, содержащие катастрофу типа сборки, используются для описания релаксационных автоколебаний малой амплитуды, колебательных режимов со смещением "средней точки" и диссипативных структур ступенчатого типа.
4. Слияние четырех и пяти особых точек; соответствующие катастрофы называются "ласточкин хвост" и "бабочка". Фазовые пространства при этом четырех- и пятимерные и геометрические представления этих катастроф не столь наглядны. Подчеркнем существенное различие катастроф типа складки и сборки. В случае "складки" форма (1.23) не описывает поведения системы при больших временах. Изображающая точка уходит из рассматриваемой локальной области фазового пространства (где справедлива форма (1.23)); иными словами, катастрофа типа складки не локализуема. То же относится и к катастрофе "ласточкин хвост" с четной коразмерностью.
В случае "сборки" форма (1.25) описывает поведение системы и при больших временах, поскольку изображающая точка остается вблизи прежнего стационарного состояния (на расстоянии ~ (u1)1/2). Можно сказать, что катастрофа типа сборки локализуема; это относится и к катастрофе "бабочка" с нечетной коразмерностью.
Математические модели катастроф указывают, однако, некоторые общие черты самых разных явлений скачкообразного изменения режима системы в ответ на плавное изменение внешних условий. Например, устойчивый установившийся режим (скажем, установившиеся режимы в социальных, экономических или экологических системах) обычно погибает, либо столкнувшись с неустойчивым (причем, в момент столкновения скорость конвергенции бесконечно велика), либо вследствие нарастания (опять бесконечно быстрого) самоподдерживающихся колебаний. Это объясняет, почему так трудно бороться с катастрофой, когда ее признаки сделались уже заметными: скорость ее приближения неограниченно возрастает по мере приближения к катастрофе.
Неустойчивые ветви - вещь очень важная. Они могут коренным образом менять ход устойчивых. Устойчивая и неустойчивая ветвь бифуркационной диаграммы могут столкнуться и аннигилировать. Тогда в системе может произойти катастрофический скачок или революционное изменение.
5. Странный аттрактор
В начале 60-х годов Е. Лоренцом [73] анализировал поведение динамической системы, описываемй системой из трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с квадратичными нелинейностями
dX/dt = ((Y - X),   dY/dt = -XZ + rX - Y,   dZ/dt = XY - bZ.
При определенных значениях параметров траектория системы вела себя столь запутанным образом, что внешний наблюдатель мог бы принять ее характеристики за случайные. Выяснилось, что система Лоренца описывает самые различные ситуации. А столь удивительное поведение ее фазовой траектории получило название странный аттрактор. Динамическое поведение системы, обладающей странным аттрактором, представляется непредсказуемым, квазистохастическим. Из экзотического объекта странный аттрактор Лоренца оказался довольно быстро низведенным до положения заурядных простых аттракторов.
Существует определенная связь между теорией бифуркаций и странным аттрактором. Слово "бифуркация" означает раздвоение и употребляется в широком смысле для обозначения всевозможных качественных перестроек или метаморфоз различных систем при изменении параметров, от которых они зависят. Странный аттрактор может возникнуть, например, в случае бифуркации типа сборки, при этом "перемешивание" траекторий осуществляется за счет срывов изображающей точки с краев сборки. Другой путь возникновения странного аттрактора - это следующие друг за другом бифуркации удвоения периода колебаний в неавтономной автоколебательной системе.
Открытие каскадов удвоений периода: последовательные бифуркации удвоения быстро следуют одна за другой, так что на конечный отрезок изменения параметра приходится бесконечное число удвоений. Это явление наблюдается, например, для простейшей модели мальтузианского размножения с конкуренцией - для отображения х ( Ахе-х. Здесь множитель е-х, уменьшающий коэффициент мальтузианского размножения А при увеличении размера популяции х, учитывает конкуренцию. При малых значениях параметра А устойчива неподвижная точка х = 0 (популяция вымирает). При больших значениях А аттрактором последовательно становятся ненулевая неподвижная точка (бифуркация А0), цикл периода 2, бифуркация удвоения, А1, периода 4 (А2) и т. д.
Анализируя этот экспериментальный материал, М. Фейгенбаум (1978) обнаружил замечательное явление универсальности каскадов удвоений. Последовательность значении параметра, соответствующих последовательным удвоениям, асимптотически ведет себя как геометрическая прогрессия. Знаменатель прогрессии при n ( (
lim(An+1 - An)/(An - An-1) (  1/4,669...
является универсальной (не зависящей от конкретной системы) постоянной, вроде чисел ( или е. Такие же каскады удвоений предельных циклов наблюдаются и в типичных эволюционных системах, описываемых зависящими от параметра дифференциальными уравнениями.
В отличие от удвоения периода, утроение является явлением коразмерности два. Каскады утроений (и других увеличений периода) становятся типичными не в однопараметрических, а в двупараметрических семействах систем. В этих случаях универсальные показатели оказываются комплексными.
Обычно размерность странного аттрактора меньше размерности всего фазового пространства (например, в случае системы третьего порядка - это некоторая поверхность или даже часть ее). Но можно привести пример странного аттрактора, занимающего все фазовое пространство. Это система типа "биллиарда Синая", в которой рассматривается поведение шарика на участке плоскости, ограниченном отражающими выпуклыми стенками. Система консервативна и фазовое пространство ее четырехмерно (две координаты и два импульса). Шарик совершает случайное движение по плоскости, отражаясь от криволинейной стенки, и изменяет свои координаты и импульсы так, что фазовые траектории заполняют равномерно все фазовое пространство (происходит полное перемешивание траекторий). Бифуркация в этой системе, приводящая к появлению странного аттрактора, возникает в результате изменения параметра - кривизны стенки.
Переход системы на установившийся режим означает, что в ней наблюдаются сложные непериодические колебания, детали которых очень чувствительны к малому изменению начальных условий, в то время как усредненные характеристики режима устойчивы и не зависят от начального условия (при его изменении в некоторой области).
Система Лоренца не только имеет диссипативный характер, но и не замкнута. Вследствие достаточно интенсивного подвода энергии к системе, последняя испытывает затруднение с ее "усвоением"  и начинается более-менее беспорядочное метание.
Для любой неустойчивой системы представление о ее замкнутости иллюзорно, т.к. любое, даже очень малое воздействие (слабая незамкнутость), приводит к сильному искажению ее поведения.
Обычно, предельное состояние - это сложный баланс между флуктуациями в системе и средними характеристиками, определяющими ее макроскопическое состояние, что, как правило, достигается на достаточно большом времени.
6. Фракталы
Странный аттрактор обладает одной довольно необычной характеристикой, - так называемой фрактальной размерностью.
Термин фрактал происходит от английского слова "fractal" - дробный, неполный, частичный. Этот термин предложил Б.Б. Мандельброт [74] для геометрического объекта с дробной размерностью Хаусдорфа. Размерность Хаусдорфа вводится так. Пусть у нас есть множество n(() m-мерных шаров диаметра ( , необходимое для того, чтобы покрыть некоторое множество Х, размерность которого мы хотим узнать. Тогда если n(() растет как (-D при ( ( 0, то говорят, что Х имеет размерность Хаусдорфа, равную D. Размерность Хаусдорфа всегда не меньше евклидовой и совпадает с последней для регулярных геометрических объектов (для кривых, поверхностей и тел, изучаемых в современном учебнике евклидовой геометрии). Разность между размерностью Хаусдорфа и евклидовой - "избыток размерности" - может служить мерой отличия рассматриваемых геометрических образов от регулярных.
Так например, размерность Хаусдорфа странного аттрактора Лоренца больше 2, но меньше 3: аттрактор Лоренца уже не гладкая поверхность, но еще не объемное тело.
Первый пример фрактала придумал классик математического анализа Вейерштрасс еще в прошлом веке - непрерывные функции, нигде не имеющие производных.
Фракталы не столь абстрактны и искусственны, как может показаться на первый взгляд. И, чтобы показать это, приведем пример с так называемым островом Коха. Возьмем равносторонний треугольник. На каждой стороне его достроим по треугольнику, сторона которого в три, а, значит, площадь в девять раз меньше, чем у исходного. И так далее. То, что получится после бесконечного количества таких шагов, и называется островом Коха. Его периметр увеличивается на каждом шаге в 4/3 раза, выражение (4/3)n( ( при n( (. А вот площадь его стремится к некоторому конечному значению.
Оказывается, что периметр острова Коха, зависит от точности, с которой мы будем его измерять, так как при этом мы будем заменять сложную изрезанную береговую линию ломаной со звеньями, не меньшими, чем наша точность.
Остров Коха - это некоторая модель определения периметра (границы) такого островного государства, как Англия.
Одной из характерных особенностей фрактальной структуры является ее самоподобие. Если внимательно взглянуть на любой из ее поворотов или загибов, можно обнаружить, что одна и та же форма встречается в разных местах и в различных масштабах. Такого рода границы называют множествами Жюлиа. Всю границу можно восстановить по любой произвольно малой ее части, выполняя конечное число итераций по формуле
zj+1 = zj2 + c,    c = r/2 - r2/4.
Другой общей чертой множеств Жюлиа является то, что они заключают в себе невероятно сложную динамику. На границе процесс хаотичен настолько, насколько это возможно. Множество Жюлиа содержит неустойчивую неподвижную точку отображения. Оно содержит в себе бесконечное число неустойчивых циклов, и, кроме этого, хаотическую последовательность точек, которая никогда не стремится к какой-либо упорядоченности.
Свойство фракталов обладать самоподобием можно обнаружить и в нашем мышлении, отражающем фрактальность мироздания. Возьмем книгу, написанную языком притч, каждая из которых, сама по себе, является описанием малозначительных сторон деятельности конкретного человека. Однако в них узнается грандиозность его поступков, что связано как раз с тем, что в малом уже содержится и великое.
7. Структура, хаос, симметрия
В заключении этой главы подведем некоторые итоги. Понятие структуры, основное для всех наук, занимающихся теми или иными аспектами процессов самоорганизации, при любой степени общности предполагает некую "жесткость" объекта - способность сохранять тождество самому себе при различных внешних и внутренних изменениях. Интуитивно понятие структуры противопоставляется понятию хаоса как состоянию, полностью лишенному всякой структуры. Однако, как показал более тщательный анализ, такое представление о хаосе столь же неверно, как представление о физическом вакууме в теории поля как о пустоте: хаос может быть различным, обладать разной степенью упорядоченности, разной структурой.
О степени упорядоченности или неупорядоченности ("хаотичности") эволюции системы можно судить и по тому, насколько равномерно распределяются в некоторой области фазового пространства фазовые траектории системы. Эта характеристика лежит в основе так называемой топологической энтропии, служащей, как и ее статистический прототип, мерой хаотичности эволюции системы.
При поиске и классификации структур весьма полезно использовать анализ симметрии структуры.
Так же как и размерность, симметрия существенно зависит от того, какие операции разрешается производить над объектом. Например, в биологии важное значение имеет киральная симметрия (от греческого кир - рука), которая в "неживой" природе имеет минимальное значение. Симметрия - свойство негрубое: небольшая вариация объекта, как правило, уничтожает весь запас присущей ему симметрии. Поиск специфических симметрий для социальных систем - это вопрос будущего.
Симметрию следует искать не только в реальном пространстве, где разыгрывается процесс структурообразования, но и в любых пространствах, содержащих "портрет" системы.
Эволюция - это процесс усложнения, появление новых симметрий. Образование структур - процесс спонтанного нарушения симметрии. Это процесс эволюционного приспособления социальных систем (вообще систем любой природы) к физическим и геометрическим характеристикам внешнего мира, в котором они себя "проявляют". Чем больше регулярных свойств внешнего мира смогла она распознать и "учесть", тем больше у нее возможностей принятия адекватных решений для своего выживания.
Если определение симметрии выбрано, то оно позволяет установить между изучаемыми объектами отношения эквивалентности. Все объекты подразделяются на непересекающиеся классы. Объекты, принадлежащие одному и тому же классу, могут быть переведены друг в друга с помощью выбранной операции симметрии, в то время как объекты, принадлежащие различным классам, ни одной операцией симметрии друг в друга переведены быть не могут.



ГЛАВА  2. 	РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ
Математическая  модель  распределенной  системы,  стационарные 
однородные решения и их  устойчивость,  автоколебания  и  диссипа-
тивные структуры в почти гармонических системах, классификация 
автоволновых процессов, режим с обострением, солитоны


В предыдущей главе мы имели дело с точечными системами. Подобное упрощение реальных задач было возможно из-за того, что при наличии перемешивания или диффузии возникала согласованность всех процессов в объеме, занимаемом системой. На самом деле, любые социальные процессы - будь то комплекс взаимодействующих социальных групп и отдельных людей, межгосударственные отношения или движение материальных ценностей, энергии, капиталов и так далее - являются распределенными системами, в которых возмущения распространяются по системе с определенной скоростью. Если скорости взаимодействий и другие параметры не зависят от координат, то система будет однородной. Если же параметры системы зависят от координат, например, вследствие различной степени возбуждения, наличия градиентов по каким-то важным для эволюции системы параметрам, то математические модели таких систем также содержат коэффициенты, зависящие от координат.
Распределенные социальные системы, так же как и точечные, являются открытыми с точки зрения потоков через них вещества и энергии, далекими от равновесия, и принадлежат к классу так называемых активных сред. К характерным признакам таких сред можно отнести следующие: а) существует распределенный источник энергии или веществ, богатых энергией и "негоэнтропией"; б) в среде можно выделить элементарный объем полного перемешивания, который содержит открытую точечную систему, далекую от термодинамического равновесия; в) связь между соседними элементарными объемами осуществляется за счет процессов переноса.
В результате потери устойчивости однородного состояния в активных средах возможно возникновение волн или пространственно неоднородных структур, устойчивых относительно малых возмущений. Основной целью данной главы является построение и изучение простейших "базовых моделей", обеспечивающих достаточно полное описание различных классов автоволновых процессов (АВ-процессов). Главное требование, предъявляемое к базовым моделям, - это возможность качественного предсказания бифуркаций, скачков, неустойчивости в течение "жизни" моделируемого объекта во времени и пространстве.
Основные вопросы, которые будут здесь рассмотрены - это качественная теория распространения возмущений, проблемы синхронизации автоколебаний в пространстве и проблемы структурообразования.
1. Математическая модель распределенной системы
Прежде всего, запишем достаточно общую математическую модель, пригодную для описания многих кинетических процессов в социальных системах. Будем считать, для простоты, пространство одномерным, т. е. объем, в котором происходит изучаемый нами процесс, представляет собой узкую и длинную трубку. Вдоль нее осуществляется явление переноса, а в любом ее поперечном сечении происходит полное внутреннее перемешивание.
Пусть xi(t,r) - эволюционные переменные, зависящие как от времени t, так и от координаты r. В разных задачах под xi подразумеваются разные переменные - например, удельная биологическая емкость среды, плотность населения на единицу площади (в нашем случае - на единицу длины). Кинетические уравнения с учетом взаимодействия компонентов и диффузии имеют следующий вид:
( xi /( t = Fi(x1, x2, ... xn , r) + ( [(Dij(x1, x2, ... xn , r)( xi/(r] /(r
(i=1,2, ... , n) .   		 (2.1)
Здесь Dij (i ( j) - коэффициенты переноса, перемешивающие разные компоненты системы, и Dii коэффициенты переноса, выравнивающие одинаковые компоненты системы, Fi - нелинейные функции, определяющие суммарные скорости изменения переменных хi за счет их взаимодействий. Большинство изучаемых нами моделей - однородно, т.е. Fi и Dij не зависят от r. Матрица коэффициентов переноса ((Dij (( в диссипативных системах может быть диагонализирована, и при этом ее собственные элементы Dii вещественны и положительны. Поэтому во многих случаях можно считать, что Dii - постоянные величины и Dij = 0 (i ( j). Как правило, ниже мы будем считать что область где происходит эволюция переменных (называемая в дальнейшем реакционной областью) имеет непроницаемые границы при r = 0 и r = L. Это значит, что выполняются краевые условия второго рода
( xi /(r |r=0 = ( xi /(r |r=L = 0   (i = 1, 2, ..., n).	 (2.2)
Моделирование существенно усложняется, если в системе существуют направленные потоки компонентов или если она не автономна, т. е. или ее коэффициенты зависят от времени, или в области протекания процесса имеются переменные источники и стоки. Таким образом, общей моделью распределенной кинетической среды является система квазилинейных параболических уравнений n-гo порядка.
Будем называть систему уравнений
dxi /dt = Fi(x1, x2, ... xn)    (i = 1, 2, ..., n)	 (2.3)
точечной системой, соответствующей распределенной системе (2.1) в определенном сечении трубки-реактора r. Формально точечная система может быть получена из (2.1), если положить все Dij = 0. Однако это будет соответствовать тому, что в отсутствие переноса элементы системы не могут встречаться друг с другом. В случае, когда все другие коэффициенты системы и длина L остаются постоянными, можно также перейти от уравнений (2.1) к (2.3). Если система однородна, положим Dij = D и введем новую координату r1 = r/D. В новых координатах при D ( ( длина области взаимодействия стремится к нулю и распределенная система сводится к точечной. Физически это означает, что на всем отрезке [0, L] описываемый процесс будет вести себя так же, как и в бесконечно малом объеме. Компоненты будут меняться синхронно во всех точках r ( [0, L]. Если коэффициенты системы, зависят от координаты r, то  рассмотрение предельного перехода при Dij ( ( - особая задача. В принципе, можно получить полное перемешивание и при конечных размерах области взаимодействия. То есть не обязательно полагать для этого, что D ( ( или L ( 0.
2. Стационарные однородные решения и их устойчивость
Анализ математической модели типа (2.1) обычно начинается с определения ее стационарных и однородных в пространстве решений и исследования их устойчивости. Если система (2.1) однородна, то диффузионные члены равны нулю и стационарные однородные значения ее переменных равны координатам особой точки соответствующей точечной системы (2.3), которые обозначим
(х1m ст, х2m ст, ..., хnm ст) (m = 1, 2,..., М), 	 (2.4)
где m - номер особой точки. При этом координаты хim ст находятся из алгебраических уравнений
Fi(x1, x2, ..., xn) = 0. 				 (2.5)
Уравнения, записанные для фазового пространства, начало координат в котором помещено в m-ю особую точку, будем называть приведенными. Легко видеть, что однородное состояние (х1m ст, х2m ст, ..., хnm ст) в этом случае, действительно, является тривиальным решением краевой задачи для системы (2.1) как с граничными условиями (2.2), так и с условиями первого рода или периодическими условиями (случай кольцевой области взаимодействия).
В качестве первого шага в исследовании устойчивости стационарного состояния рассматриваются малые возмущения этого состояния, т. е. изучаются решения линеаризованных приведенных систем. Для простоты будем считать, что система (2.5) имеет всего одну изолированную особую точку с координатами (х1 ст, х2 ст, ..., хn ст).
Малое возмущение относительно стационарного однородного решения запишем в виде
xi'(t, r) = xi(t, r) - хi ст     (i=1,2,...,n) 	(2.6)
Линеаризованная приведенная система для модели (2.1) при Dii = Di и Dij = 0 (i(j) будет иметь вид
(x'i /( t = ( aijx'j + Di ( 2х'i /( r2   (i=1,2,...,n).  (2.7)
Здесь учтены равенства (2.5) и отброшены члены второго порядка и выше относительно xi', а коэффициенты аij = дFi (х1 ст, х2 ст, ..., хn ст) /дхj. Любое малое возмущение можно представить в виде суперпозиции волн
х'i = (i ехр(pkt + ikr),   		(2.8)
где k - волновое число, определяющее длину волны (k = 2(/k. Подставляя (2.8) в систему (2.7) и используя условие существования ее нетривиальных решений, получим дисперсионное уравнение, связывающее комплексные частоты рk = (k + i(k, длины волн (k (или k) и коэффициенты системы (2.7):
pnk + qn-1(k2)pkn-1 + ... + q0(k2) = 0. 	(2.9)
Если исследуемое однородное решение (х1 ст, х2 ст, ..., хn ст) неустойчиво, то имеется хотя бы одно значение комплексной частоты рk с (k > 0. Неустойчивости в активных кинетических системах подразделяются на два вида. В случае, когда дисперсионное уравнение (2.9) для волны с длиной (k имеет четное число корней рk с (k > 0, неустойчивость называют колебательной. Она приводит к появлению синхронных автоколебаний и других типов АВ-процессов. Нечетному числу таких корней соответствует неустойчивость Тюринга (при k = 0 мы приходим к случаю точечной системы), приводящая к образованию стационарных диссипативных структур (ДС).
Остановимся подробнее на анализе устойчивости однородного состояния системы второго порядка:
( x/( t = P(x, y) + Dx(( 2x/( r2),    (y/( t = Q(x, y) + Dy( 2y/( r2.  	(2.10)
Дисперсионное уравнение (2.9) для системы второго порядка может быть представлено в явном виде:
р(k2) = - А/2 ( (А2 - 4В)1/2/2,    (2.11)
где
A=k2(Dx+Dy)- Sp ((aij ((, В= det ((aij  ((+ k4DxDy - k2(a11Dy + a22Dx).
Выражение (2.11) помогает при классификации АВ-систем. (Таблица 1.) Так, зная фазовый портрет точечной системы (2.10), параметры аij для каждой из особых точек фазовой плоскости и коэффициенты диффузии Dx и Dy , можно сказать, к какому классу относится данная модель второго порядка.
Рассмотрим различные случаи поведения систем.
1. Особенности поведения функции Reр(k2) состоят в том, что однородное состояние линеаризованной системы (2.10) оказывается неустойчивым по отношению к возмущениям с волновыми числами в ограниченном интервале k2- < k2 < k2+,. При этом система устойчива ко всем остальным возмущениям, в частности, с k=0. При бифуркационном значении параметров этот интервал стягивается в точку. Само же однородное состояние является седлом. В таких системах возможно возникновение диссипативных структур. Границы интервала определяются из условия Rep(k2) = 0 или, что то же, B = 0 (см. (2.11)). Имеем
k2-+ ={а11Dy+а22Dx ( [(а11Dy + а22Dx)2 - 4DxDydet ((aij  (( ]1/2}/2DxDy (2.12).
Интервал стягивается в точку при k2+ = k2-, т. е. при условии
(a11Dy + a22Dx)2 = 4DxDydet ((aij  (( .			(2.13)
Равенство (2.13) представляет собой тюринговскую бифуркацию. Из (2.11) - (2.13) следуют условия мягкого возникновения ДС:
det ((aij  ((  > 0, 			(2.14a)
а11Dy + а22Dx > 0 			(2.14б)
(а11Dy + а22Dx)2 > 4DxDydet ((aij  (( 	(2.14в)
Sp ((aij  ((  = a11 + a22 < 0. 		(2.14г)
Из неравенств (2.14б) и (2.14г) следует, что а11а22 < 0, а из (2.14a) a12a21 < 0. Это означает, что один из диагональных членов положителен, а другой отрицателен. Для определенности будем считать, что а11 > 0, а22 < 0. В химической кинетике положительный диагональный член возникает в автокаталитических реакциях. Поэтому х называют "автокаталитической" переменной, переменную у (для которой а22 < 0) можно назвать "демпфирующей". Отметим, что используются также термины "активатор" для х и "ингибитор" для у. Возможно в общественных науках эти переменные получат свое название.
Неравенство (2.14б) можно записать в форме
(yDy > (xDx
Здесь учтено, что константы а11 и а22 по размерности и по смыслу представляют собой обратные характерные времена развития переменных х и у: а11 = (x-1, |а22| = (y-1. Если (x ~ (y, то в моделях, описывающих ДС, "демпфер" должен диффундировать быстрее, чем "автокатализатор".
2. Неустойчивость однородного состояния типа седла может возникнуть и при другом виде зависимости Reр(k2).
3. В качестве примера возникновения режима нарастающих колебаний вблизи однородного состояния рассмотрим случай известной в радиофизике автоколебательной системы Ван-дер-Поля. С учетом диффузии компонент х и у такая система имеет вид
( x/( t = y+Dx(( 2x/( r2),  (y/( t =- (2x + 2(0 y - 2(2 x2y + Dy(( 2y/( r2)  (2.15)
Вблизи бифуркации автоколебательного типа ((0 (( () остальные параметры - порядка единицы. Систему (2.15) можно представить в форме одного уравнения второго порядка:
( 2x'/( t2+(2x'=2(0[(1-х' 2)(x'/( t-Dy(1-x' 2)( 2x'/(r2-DxDy( 4 x' /( r 4 +
+ (Dx+Dy)( 3x'/( t(r2], 				(2.15a)
где х' = ((2 /(0)1/2х.
Отметим, что модель Ван-дер-Поля можно рассматривать как частный случай системы (2.10), в которой нелинейный член -2(2x2y - результат разложения функции Q(х,у) по отклонениям от стационарного состояния xст=yст=0, квадратичные члены отсутствуют, а коэффициенты равны: а11 = 0, a12 = 1, а21 = -(2 и а22 = 2(0. Однако, вблизи автоколебательной бифуркации ((0 = 0) любая система (даже высокого порядка) может быть сведена к двумерной с той же линейной частью, что и в (2.15). Отсутствие квадратичных членов (или их малость) также характерно для большого класса автоколебательных систем. Поэтому модель (2.15) можно рассматривать как базовую при любых значениях (0, а результаты, полученные на основе (2.15), можно считать справедливыми в достаточно общем случае. Модель (2.15a) пригодна в случае (0 > 0. Используя (2.11), получаем
р2 + k2(Dx +Dy)p - 2(0р + (2 + k4DxDy - 2(0k2Dx = 0.
Отсюда следует, что
р1,2=(0 - k2(Dx +Dy)/2 ( ([(0 - k2(Dx+Dy)/2]2 -(2- k4DxDy +2(0k2Dx)1/2 					(2.16)
Если частота ( достаточно велика, что справедливо для добротных колебательных систем (( >> (0), то подкоренное выражение всегда отрицательно. Значение корня в этом случае определяет мнимую часть Imр1,2, а следовательно, частоту колебаний вблизи положения равновесия. Особая точка будет неустойчивым фокусом, если
(0 > (k2/2)(Dx + Dy).			(2.17)
При k = 0 (( = () имеем синхронные нарастающие колебания по всей длине реакционной области с частотой, соответствующей точечной системе. При конечных величинах ( имеется затухание за счет диффузии. Величина
((*)2 = (2()2(Dx + Dy)/2(0, 		(2.18)
дает критическую длину волны (Если процесс происходит в реакционной области длины L с непроницаемыми торцами, то длины волн ( связаны с L соотношением ( =2L/n. Поэтому критическое (максимальное) значение n равно
nmax = [2(0/(Dx + Dy)]1/2(L/().	(2.18а)
Все возмущения с длинами волн ( < (* будут затухать.
Интересно отметить, что если Dx = Dy, то Imp1,2 = (((2 - (02)1/2, и частота не зависит от диффузии.
Могут возбудиться автоколебания с длинами волн, много меньшими, чем характерные размеры реакционной области. Без принудительного перемешивания автоколебания могут независимо возникать в разных точках плоскости реактора, имея, в зависимости от случайных начальных условий, различные фазы. Конечно, такая картина наблюдается лишь в начале процесса. В последующем в таких реакционных областях развиваются сложные автоволновые процессы, о которых говорится ниже.
3. Автоколебания и диссипативные структуры 
в почти гармонических системах
Квазигармоническими автоколебательными системами называются такие системы, в которых изменения переменных представимы в форме:
х(t,r) = А(t, r)cos[(t + ((t, r)], 		 (2.19)
где амплитуда А(t,r) и фаза ((t,r) - достаточно медленно меняющиеся в пространстве и во времени функции. Решения вида (2.19), разумеется, должны удовлетворять краевым условиям (2.2). Если величины А и ( постоянны во времени и пространстве, то (2.19) описывает синхронные и синфазные колебания, ничем не отличающиеся от автоколебаний точечной системы.
В несинфазном синхронном режиме амплитуда А(r) и фаза ((r) зависят от пространственной переменной r. Амплитуду можно представить в виде ряда Фурье:
А(r) = (Ancosknr,    kn = 2(n/L
в котором нулевой тон (n = 0) при ( = const соответствует синфазным колебаниям. Сделаем ряд замечаний.
1. Квазигармонические автоколебания существуют в общем случае лишь вблизи бифуркации, когда их амплитуда, как правило, мала. Область существования таких автоколебаний в социальных распределенных системах узка и они наблюдаются не часто.
2. Из предыдущего следует, что в однородных системах вблизи бифуркации (см. (2.16), (2.17)) вещественная часть р, или инкремент системы, уменьшается с ростом волнового числа k. Отсюда уже можно сделать вывод о том, что нулевой тон будет поглощать все остальные, т. е. будут выживать лишь синфазные автоколебания. Забегая вперед, отметим, что детальный анализ приводит к тому же заключению. Подчеркнем, что этот вывод справедлив лишь для систем с линейной диффузионной связью и диагональной матрицей ||Dii||. При других пространственных взаимодействиях ситуация может быть существенно иной, однако здесь мы ее обсуждать не будем.
Хотя квазигармонические несинфазные автоколебания в однородных системах представляют ограниченный интерес, их исследование поучительно в методическом отношении и полезно при рассмотрении проблемы синхронизации в неоднородном пространстве. Мы проведем его на примере модели (2.15a). Запишем ее в виде
д2x/дt2 + (2х = 2(0[(1 - x2)дx/дt] + (Dx + Dy)д3x/дtдr2		(2.20)
Пусть ( >> (0 и условие самовозбуждения (2.17) выполнено. В этом случае наиболее существенную роль играет лишь диффузионный член (Dx + Dy)д3x/дtдr2 ~ ((0, тогда как два других диффузионных члена в (2.15a) имеют порядок (02, и здесь отброшены. Последнее справедливо, когда x(t,r) - достаточно гладкая по переменной r функция.
Применим для отыскания стационарных решений (2.20) метод медленно меняющихся амплитуд. Решения в виде (2.19), где А(t,r) и ((t,r) - медленные функции времени, подставим в (2.20); при этом получится нелинейное уравнение, связывающее амплитуду и фазу и их производные по t и r. На функции А(t,r) и ((t,r) накладываются дополнительные ограничения, так как мы ввели две неизвестные функции А и ( вместо одной х. А именно
дх/дt = - (Asin((t + (),				(2.21)
(дА/дt)cos((t + () - (д(/дt)Аsin((t + () = 0.		(2.22)
Уравнения (2.20) и (2.22), в которые произведены подстановки (2.19) и (2.21), разрешаются относительно дА/дt и Ад(/дt. Затем правые и левые части полученных уравнений усредняются за период 2(/(. Описанная процедура приводит к укороченным уравнениям вида
дА/дt = (0(A - A3/4) - (1/2)(Dx - Dy)[ - д2А/дr2 + A(д(/дr)2],
Ад(/дt = (Dx + Dy)[(дА/дr)(д(/дr) + (A/2) (д2(/дr2)].	(2.23)
Отыщем значения Аct(r) и (ct(r), не зависящие от времени, для чего будем считать дА/дt = д(/дt = 0. Уравнение для стационарной фазы в этом случае таково:
(д/дr)(A2ct д(ct/дr)=0, или Аct2д(ct/дr = const.
Граничные условия (2.2) для реакционной области длиной L принимают вид
д(ct/дt |r=0 = д(ct/дt |r=L = дАct/дr |r=0 = дАct/дr |r=L =0 	(2.24)
(они выполняются с точностью до величин порядка (2). Следовательно, д(ct/дr = 0 на протяжении всей реакционной области. Это значит, что автоколебания во всех точках r ( [0, L] происходят синфазно.
С учетом тождества д(ct/дr = 0 первое уравнение системы (2.23) можно использовать для определения стационарного распределения амплитуды. При дА/дt = 0 имеем
d2Act/dr2 = [2(0Act /(Dx + Dy)](A2ct /4 - 1) 		(2.25)
Уравнение (2.25) имеет два тривиальных решения: Аct = 0 и Аct = 2 (очевидно, что решение Аct = 0 неустойчиво). Остальные решения ищутся из соображений симметрии системы относительно середины отрезка [0, L]. В самом деле, разумно ожидать таких решений Аct(r), которые принимают либо на обоих торцах одинаковые значения А0, либо на одном конце А0 , а на другом -А0. Такие решения приводят к эллиптическому интегралу:
(dАct /[(A02 - A2ct)(1 - A02/8 - A2ct/8)]1/2 = [2(0/(Dx + Dy)]1/2(dr.	(2.26)
3десь Аct(r) удовлетворяет уравнению (2.25). Константа А0 = |Аct(0)| = |Аct(L)| находится из трансцендентного уравнения
[2(0L/(Dx + Dy)]1/2 = 2nK(()/(1 A02/8)1/2 = 2n((А0).		(2.27)
где ( = А0(8 - А02)-1/2, а К(() - полный эллиптический интеграл первого рода (n = 0, 1, 2, ...).
Зная отношение параметров 2(0/(Dx + Dy) и задавая L, по графику ((А0) можно найти величины А0 для различных n. Минимальное значение (min(А0) равно (/2. Следовательно, максимально допустимое значение nmax, которое находится из формулы (2.27), равно
nmax = (L/()[2(0/(Dx + Dy)]1/2				(2.28)
Оно совпадает с величиной nmax, определенной из линейной теории (см. формулу (2.18а)).
Стационарные решения Аnct(r) были исследованы на устойчивость относительно отклонений различной формы. Если в качестве начальных условий задать одинаковое отклонение концентраций по всей длине L(n = 0) и одновременно с ним какой-либо разрешенный тон колебаний Аn ct(r), то с течением времени "выживают" лишь колебания, происходящие с амплитудой Аct = 2.
Таким образом, модели автоколебательных реакций с мягким режимом возбуждения в замкнутых одномерных реакторах не имеют никаких других устойчивых способов поведения, кроме синфазных по всему пространству r ( [0, L] колебаний. Одной из возможных моделей, которая могла бы дать более разнообразные формы распределения устойчивых амплитуд автоколебаний в реакционной области, является автоколебательная система с жестким режимом возбуждения. В самом деле, жесткие системы имеют устойчивое состояние равновесия и для того, чтобы возбудить в них автоколебания, им нужно сообщить извне "толчок" конечной величины.
Показано что, при наличии диффузии в автоколебательной системе с жестким режимом самовозбуждения можно наблюдать три физически реализуемых режима. Первый - когда все точки пространства совершают синхронные колебания с амплитудой автоколебаний А "точечного" генератора. Второй - когда все точки пространства находятся в положении равновесия и автоколебаний нет. И, наконец, третий, "квазиустойчивый", режим - когда часть пространства совершает автоколебания с амплитудой, близкой к амплитуде А "точечного" генератора, а в другой части пространства наблюдаются вынужденные колебания. "Квазиустойчивость" означает, что граница между возбужденной и невозбужденной частями системы находится в состоянии "безразличного" равновесия и может смещаться под действием малых возмущений. Отметим, что если вместо распределенной системы рассматривается ее дискретный аналог - цепочка связанных генераторов с жестким возбуждением, то эта граница становится устойчивой по отношению к малым возмущениям и неустойчивой по отношению к возмущениям конечной амплитуды. Последнее обстоятельство может быть важным при изучении автоколебаний в различных социальных структурах, связанных диффузией через соприкасающиеся границы.
В целом, можно сделать следующий вывод. В распределенных автоколебательных системах второго порядка, как с мягким, так и с жестким возбуждением, помимо нулевого тона не существует других устойчивых решений типа "стоячих" волн. Возникают принципиальные вопросы, которые необходимо учитывать при изучении синхронных режимов в реальных системах. Укажем некоторые из них:
1) реальные распределенные эволюционные системы неоднородны в пространстве, т.е. скорости процессов в разных точках пространства неодинаковы;
2) изменение колеблющихся эволюционных переменных чаще всего носит релаксационный характер;
3) системы могут иметь более чем две независимых переменных;
4) в эволюционных системах всегда присутствуют флуктуации, как внутренние, так и внешние.
Кратко рассмотрим вопрос о поиске установившихся почти гармонических распределений кинетических переменных в пространстве (или диссипативных структур (ДС)). Почти гармоническими ДС называются такие стационарные решения системы (2.10), которые имеют форму, близкую к косинусоидальной. Они возникают вблизи бифуркации Тюринга, когда отклонение параметра (или нескольких параметров) от бифуркационного значения невелико и может рассматриваться как бифуркационный параметр (см. условие (2.13)). Приемы исследования почти (или квази) гармонических ДС основаны на методе малого параметра, используемом в теории нелинейных колебаний. Изложим кратко процедуру, с помощью которой можно оценить амплитуду почти гармонической ДС в простейшем случае.
Пусть стационарные решения (2.10) удовлетворяют граничным условиям второго рода на отрезке длиною L. Рассмотрим малый интервал [k+, k-] (см. выражение (2.12)), такой, что внутри него может находиться лишь одно волновое число kn (kn = n(/L). Бифуркационным значением параметра, например, Dy, будем считать такое Dy(b), при котором kn совпадает с одним из граничных значений k (kn = k- или kn = k+), и исследуем систему (2.10) при Dy = Dy(b) + (Dy , (Dy << Dy, используя метод малого параметра. Для этого разложим функции Р(х,у) и Q(x,у) в ряды по отклонениям от однородного решения x'(r) = x(r) - xct(r), y'(r) = у(r) - уct(r) до членов третьего порядка малости включительно. Стационарные значения x'(r) и у'(r) будем искать в виде рядов по малому параметру ( << 1:
х'(r) = (х'0 (r) + (2х'1 (r) + (3х'2 (r) + ...,
у'(r) = (у'0 (r) + (2у'1 (r) + (3у'2 (r) + ... 		(2.29)
Отклонения параметра (Dy от бифуркационного значения также представим в виде
(Dy = ((1 + (2(2. 					(2.30)
Величины х'i (r) и y'i (r) представляются в форме
х'i (r) = (Am(i)coskmr,    у'i (r)= (Bm(i)coskmr   (i = 0, 1, 2),  (2.31)
которая обеспечивает граничные условия второго рода, Главный вклад в ряды дают члены с m = n, остальные амплитуды Аm(i), Bm(i) (при m ( n) играют роль малых поправок. Подставляя (2.29) - (2.31) в (2.10) и собирая члены при одинаковых гармониках и одинакового порядка, нетрудно получить систему зацепляющихся алгебраических уравнений для величин Аm(i) и Вm(i), параметры которой зависят от (1 и (2. Величины (1 и (2 определяются из условия разрешимости алгебраической системы. При этом в достаточно общем случае величина (1 = 0, а (2 выражается через коэффициенты системы (2.10) и, в частности, через коэффициенты при кубичных членах разложения Р(х,у) и Q(х,у). По порядку величины (2 ~ 1. Указанная процедура приводит к следующему результату:
( = ((Dy/(2)1/2   х'(r) ( Аn0((Dy)1/2cosknr,   у'(r) ( Вn0((Dy)1/2cosknr.	 (2.32)
Отсюда видно, что амплитуда почти гармонической ДС пропорциональна квадратному корню из отклонения параметра от бифуркационного значения. Напомним, что такая же зависимость имеет место при мягком возбуждении автоколебаний.
Из (2.32) следует, что мягкое возбуждение ДС возможно лишь при положительном знаке (2. В противном случае ((2 < 0) малая гармоническая ДС невозможна. Физический смысл этого прост: гармоническая ДС возникает в случае, когда рост амплитуды, обусловленный неустойчивостью линейного приближения, компенсируется нелинейными членами. В случае, если знаки нелинейных членов таковы, что они не компенсируются, а, напротив, способствуют дальнейшему нарастанию амплитуды (при этом (2 < 0), имеет место не мягкое, но "катастрофическое" образование ДС большой амплитуды.
4. Классификация автоволновых процессов. (Некоторые выводы)
1. Спонтанное нарушение симметрии возможно при следующих условиях:
а) Система является открытой, диссипативной и далекой от равновесия.
б) В системе имеется два типа взаимодействующих друг с другом переменных: первые способны к автокаталитическим реакциям (автокатализаторы, или активаторы), вторые способны подавлять реакции автокатализа (демпферы, или ингибиторы). Эти переменные могут быть обобщенными, т. е. представлять собою линейные комбинации неких других переменных системы. То есть в исходной формулировке задачи параметры, являющиеся активатором и (или) ингибитором, в явном виде могут и отсутствовать.
в) В системе должно иметь место взаимное влияние пространственно удаленных частей, осуществляемое за счет процессов переноса. При этом радиус влияния автокаталитического параметра должен быть меньше радиуса демпфирующего. В развивающихся системах автокаталитические короткодействующие параметры связаны со специфическими процессами взаимодействия, а демпфирующие (и длиннодействующие) - с неспецифическими.
2. Вопрос о связи структурообразования и дифференциации исследован теоретически в моделях, способных к мультистационарным режимам. Оба процесса взаимосвязаны, так что способность к дифференциации является необходимым условием начала зарождения структур, и, с другой стороны, - закрепление различно дифференцированных структур в системе есть следствие образования ДС, т. е. структурообразования.
3. Эквифинальность может достигаться различными путями даже в моделях, допускающих существование множества различных ДС при одинаковых условиях. Наиболее естественным из них представляется отбор самой устойчивой ДС при наличии флуктуаций параметров и динамических переменных.
Подчеркнем, что во всех случаях как процесс отбора выделенной ДС, так и характер ее определяются и управляются параметрами системы.
4. Ответ на вопрос о причинах возникновения и исчезновения вариабельности и ее роли в развитии можно сформулировать в достаточно общем виде. Вариабельной становится система в случае, когда параметры ее близки к бифуркационным значениям. Речь идет не только о бифуркации Тюринга, но и о других "катастрофах", связанных с изменением характера и числа экстремумов ДС. Иными словами, стохастические свойства у объекта возникают, когда его состояние становится неустойчивым, и исчезают, когда он переходит в устойчивое состояние. Потеря устойчивости - необходимое условие усложнения структуры развивающейся системы. Таким образом, вариабельность - необходимая плата за развитие и усложнение.
5. Вопрос о путях и механизмах реализации внешней и внутренней информации при образовании структур можно сформулировать так: каковы возможные пути управления развивающейся, усложняющейся системой с целью достижения в результате заранее предопределенного состояния?
Возможны два разных способа реализации информации в автономной системе. Первый, и наиболее известный, способ - динамический - состоит в задании начальных и граничных условий, которые определяют течение процесса и конечный результат его.
Второй способ - параметрический - может использоваться в диссипативных системах, в которых реализуется одно выделенное устойчивое стационарное состояние при произвольных начальных условиях и нейтральных (не несущих информации) граничных условиях. В этом случае свойства структуры определяются только параметрами системы. Изменяя (задавая) параметры, можно изменять (задавать) все свойства конечной структуры.
В случае спонтанного образования структуры первый способ исключается. Напротив, параметрическое регулирование вполне эффективно в обычно рассматриваемых моделях.
Запись информации о параметрах не требует иного носителя, помимо структурной информации, более того, она может быть наложена на информацию о структуре базового обменного процесса. Принцип наложения информации - один из типичных приемов, используемых, например, в искусстве. Наиболее наглядно его можно продемонстрировать на примере печатного текста. Используя буквы разного оттенка, цвета, размера, написания, на страницу текста можно нанести дополнительную информацию (практически не искажая текстовой), которая может иметь (или не иметь) отношение к текстовой. При этом, такое наложение информации возможно, если текстовая информация избыточна и надежна. То есть, если слабые, но заметные, искажения шрифта не препятствуют восприятию исходного текста.
В процессе развития должны быть решены две задачи: первая - перенести внешнюю информацию от начала развития до образования конечной структуры и вторая - сохранить возможность усложнения системы, т. е. нарушения симметрии, потери устойчивости, вариабельности и т. п.
Ясно, что эти задачи дополнительны друг к другу, т. е. чем лучше решается одна из них, тем труднее решить другую. Поэтому модель, оптимально решающая обе проблемы, должна содержать величины трех типов:
1) строго постоянные величины, которые задаются извне и не меняются со временем; их можно назвать первичными константами;
2) медленно меняющиеся величины - параметры;
3) быстро меняющиеся динамические переменные, такие, как х и у в любой модели ДС.
В соответствии с принципом временной иерархии модель может быть разбита на две подсистемы: а) уравнения для параметров и б)уравнения для переменных типа х, у. При этом параметрами подсистемы (а) являются первичные константы, а параметрами подсистемы (б) - как первичные константы, так и сами параметры.
Подсистема (а) (уравнения для параметров) должна удовлетворять требованию сохранения внешней информации. Это значит, что эта подсистема является динамической, достаточно грубой и простой; решения ее однозначны и устойчивы. Подсистема (б), напротив, должна обеспечивать возможность усложнения развивающегося объекта. Это значит, что она временами теряет устойчивость, приобретает вариабельность и, вообще, обладает свойствами, характерными для моделей ДС.
В такой модели решаются обе задачи развития, а их дополнительность преодолевается тем, что каждая из задач решается на своем иерархическом уровне.
На основе модели (2.1) даже при n ( 3 можно описать поведение нескольких качественно отличающихся АВ-процессов, провести классификацию АВ-явлений и составить таблицу достаточных условий существования различных типов таких процессов.
Список разных режимов АВ-процессов выглядит следующим образом.
1. Синхронные автоколебания во всем пространстве (СА)
2. Распространение возмущения в виде бегущего фронта (БФ) или бегущего импульса (БИ).
3. Генерация волн автономными источниками импульсной активности: так называемыми ведущими центрами (ВЦ). Поясним только, что ВЦ - это локальная область в гомогенной среде, где генерируются плоские волны в одномерном реакторе-трубке и концентрические - в двумерном.
4. Диссипативные структуры (ДС) - стационарные неоднородные распределения кинетических переменных в пространстве.
5. Квазистохастические волны (КСВ).
6. Спиральные волны (СВ).
Нужно знать размер целостной системы L и ее характерное время Т. Тогда можно судить и о том, велика ли скорость возмущений по отношению к L/T. В ряде социальных систем возможны процессы, имеющие этапы, на которых изменения переменных происходят с сильно различающимися характерными временами. В этом случае могут осуществляться различные классы АВ-процессов. (В таблице использованы следующие обозначения: x - автокаталитическая переменная, Dx - ее коэффициент диффузии, y - демпфирущая переменная, Dy - ее коэффициент диффузии, a11 - коэффициент линейного автокатализа, (1, (2 - постоянные, определяемые параметрами точечной системы; типы точечных систем: T - триггерная, A - автоколебательная, ПА - потенциальная автоколебательная.)
Таблица 1
Достаточные условия существования 
различных типов автоволновых процессов.
Типы автоволновых процессов.

Мини-ное число перем-ных баз. модели
Коэфф-нты диффузии
Характеристика точечной системы
Скорость
1. Синхронные автоколебания

2
Dx ( (2
Dx ( (1

А

-
2. Распр-ние возм-ий
а) одиночный фронт
б) бегущие импульсы

1
2

D
Dx (( Dy

(F/(x(x=( = k > 0
x - нуль-изоклина N-образна

v ( 2(kD)1/2
v =(2(Dx)1/2
3. Ведущие центры
а) деление волновых фронтов ("эхо" )
б) стабилизация стартовой области волны


2


3


Dx (( Dy



Т, А, ПА


А, ПА


v((2(Dx


v((2(Dx
4. Диссипативные структуры
а) квазигармоническ.
б) пичковая


в)ступенчатая

г)уединенная


2
2


2

2


Dy ( Dx
Dy (( Dx


Dy (( Dx

Dy (( Dx


Т, А, ПА
a11 ( ( ( 0, ( (( 1,
модель типа складки
a11 ( ( ( 0
модель типа сборки
a11 ( ( ( 0,
мод. типа складки


0
0


0

0

5. Режим с обострением
Рассмотрим нелинейную систему, в которой заданы два конкурирующих процесса
дT/дt = д[k(T)дT/дx]/дx + Q(T).    (2.33)
Здесь первый член в правой части уравнения описывает диссипативный процесс, нелинейность которого определяется коэффициентом k(T), а второй, Q(T) - нелинейный источник, отражающий положительную обратную связь.
Если эти функции имеют степенной вид:
Q(T) = q0T(,    k(T) = k0T(,   k0, q0, ( > 0, ( > 1,		(2.34)
то модель (2.33) обладает рядом интересных решений, описывающих необычные структуры. Подобное уравнение может описывать, например, процесс накопления информации, при этом член Q(T) характеризует следующее обстоятельство: чем больше мы знаем, тем больше вероятность узнать еще. Переменная t - обычное время, а x характеризует удаленность друг от друга носителей и приемников информации. Переменная T характеризует плотность информации в обществе. Степенная зависимость k(T) отражает следующий простой факт: если не о чем рассказывать, то информация не распространяется, т.е. k(0) = 0, а чем значительнее достижения, тем быстрее узнает о них сообщество.
Обсудим ряд свойств модели (2.33) и (2.34). В случае, когда Т не зависит от х, дT/дx = 0. Тогда задача принимает вид
dT/dt = q0T(,     T(0) = T0  , 				(2.35)
где T0 - плотность информации в начальный момент времени. Решение этого уравнения существует только конечный промежуток времени, определяемый начальным значением T(0). После этого в игру должны вступать другие стабилизирующие факторы, и следует переходить к другим моделям. Обратим внимание на замечательный характер кривых, соответствующих решениям уравнения (2.35). В течение длительного времени функция T слабо меняется. Но вблизи момента времени tоб, называемого временем обострения, неустойчивость приобретает взрывной характер. При таком поведении функции T(t) стандартный алгоритм прогнозирования, применяемый в социальных науках , "от достигнутого" , здесь неприменим.
Пусть T1(t) и T2(t) - решения уравнения (2.35), близкие по начальным данным, а время обострения у первого из них больше, чем у второго. Оказывается, как бы ни мала была разность начальных данных, T1(t)/T2(t) ( ( вблизи времени обострения первого решения. Эти решения как бы живут в разных темпах.
Рассмотрим теперь модель (2.33) и (2.34), дополнив ее начальными данными
T(x, 0) = T0(x),      -( ( x ( (.
Будем считать, что существует область вне интервала x ( [a, b], в которой T0(x) = 0. Происходящее в этом случае кардинально зависит от соотношения показателей степеней. При ( = ( + 1, вначале поведение решения имеет более менее пространственную однородность, которое, начиная с некоторого момента, оказывается пространственно локализовано. Профиль функции Т сохраняет свою полуширину и форму. Так же, как решение уравнения (2.35), он развивается по такому закону, в соответствии с которым T(x, t) при некоторых значениях координаты x неограниченно возрастает за конечное время (такой закон называется ростом в режиме с обострением). Сохранение формы в ходе процесса позволяет говорить о том, что здесь мы имеем дело с появлением организации, с возникновением диссипативной структуры. Упорядоченности такого типа стали называть нестационарными диссипативными структурами, чтобы подчеркнуть их отличие от традиционных стационарных, не меняющихся со временем структур.
Смысл такого решения прост - в определенной области происходит рост информации, не выходя за ее рамки. Следуя сложившейся традиции, о таком решении говорят, что оно описывает процесс, развивающийся в S-режиме. Характерный признак этого режима - сохранение полуширины возникающей диссипативной структуры при увеличении ее амплитуды.
Если показатели степеней связаны неравенством ( < ( + 1, решение также неограниченно возрастает. Однако оно описывает распространяющуюся волну растущей амплитуды. По мере приближения к моменту обострения эта волна охватывает все пространство.
Такое поведение получило название HS - режима с обострением.
Исключительно интересным представляется противоположный случай:  ( > ( + 1 (так называемый LS - режим с обострением). Решение вновь растет в режиме с обострением, оставаясь локализованным, однако его полуширина сокращается.
В этой модели есть еще один парадоксальный режим. Допустим, что нелинейность очень велика (( > ( + 3). При этом процессы могут идти в виде волны падающей амплитуды (HS-режим без обострения). Но эта ситуация неустойчива - возникает быстрый процесс (реализуется LS-режим с обострением).
Обратим внимание на особенности образования структур в "режиме с обострением" в отличие от модели, предложенной А. Тьюрингом (2.1) для описания формообразования.
Распространение волн в простейшем, одномерном, случае имеют вид
u = f(x - ct).
При этом функция f может быть "любой"  из очень широкого класса. Среда как бы "запоминает" ее и переносит со скоростью c. Детали и особенности начальных данных не будут "забыты". Время однородно и следующий момент в этом бесконечном ряду ничем не хуже предыдущего.
Волновые решения с обострением имеют вид
T=g(t)f[x/(t - tоб)(], где ( = (( - ( - 1)/(( - 1), g(t) ~ (t - tоб)-1/((-1),
либо стремятся к нему, когда время стремится к моменту обострения tоб.
Здесь слово "стремятся" означает, что при разных начальных данных в среде могут возникнуть одни и те же диссипативные структуры. Несущественные детали будут "забыты" этой "активной" средой. Малые возмущения либо структуры меньшей амплитуды не успеют развиться до момента обострения. Кроме того, в обсуждаемой модели время неоднородно. Оно имеет "начало отсчета" , а также конец отсчета - время обострения.
Итак, в нашем случае структура с меньшим временем обострения "выигрывает". На первый взгляд кажется, что в этом случае структуры "разного возраста" , различного уровня развития, в принципе не могут быть объединены. Однако это не так. В этой диссипативной сильно нелинейной среде существуют законы, по которым простейшие структуры могут быть объединены в более сложные. В этой простейшей среде мы также видим пример, позволяющий сложному развиваться согласованно, не распадаясь на простейшие части.
Было бы естественно трактовать эволюцию, прогресс, как рост разнообразия, усложнение, увеличение числа функциональных единиц. В частности, в другой базовой модели, в системе Тьюринга, усложнение мыслится следующим образом. Здесь медленное изменение времени с начала развития или характерного размера модели вместе со случайными возмущениями как бы "ведет" систему по бифуркационной диаграмме. Выбор из устойчивых ветвей вблизи точки бифуркации происходит под воздействием малых случайных возмущений. Обычно предполагается, что внешний параметр меняется настолько медленно, что решение успевает достичь состояния, близкого к стационарному, не зависящему от времени.
Способ управления процессами в такой среде ясен - чтобы создать в ней сложную упорядоченность, вообще говоря, надо менять внешний параметр. Если же такой возможности нет, то надо посмотреть по бифуркационной диаграмме, какие типы упорядоченности допускает при этом значении система, и управлять начальными данными так, чтобы в конце концов возникла желаемая структура.
Ситуация в модели, описывающей "режимы с обострением", принципиально иная. Параметры, определяющие свойства среды (( и () предполагаются фиксированными. И все сложные структуры существуют в одной нелинейной среде, т.е. среда является носителем форм организации. Все сложные структуры в этой модели неустойчивы. Чтобы они существовали, нужно правильным (как иногда говорят, резонансным) образом задать начальные данные. На сцену выходит геометрия, дающая гораздо больше возможностей, чем управление параметрами и свойствами среды. В одной и той же среде возможны разные типы организации. Прежде чем что-то создавать, надо их знать.
Этот взгляд приходит в противоречие с одним распространенным мифом общественного сознания относительно "естественного отбора всего лучшего". Любая сложная система, имеет свою ахиллесову пяту, свои болевые точки. В режиме нормального функционирования она старается их надежно прикрыть и защитить.
6. Солитоны
В заключение отметим еще один тип структур, описываемых нелинейными уравнениями, так называемые солитоны (от лат. solus - один). Солитон - это решение нелинейного эволюционного уравнения, которое в каждый момент времени локализовано в некоторой области пространства, причем размеры области с течением времени остаются ограниченными, а движение центра области можно интерпретировать как движение частицы. Заметим, что солитоны - решения консервативных уравнений, в то время как модели ДС существенно диссипативны. Поэтому они не столь распространены в задачах эволюции социальных систем и мы лишь кратко коснемся данного вопроса.
Приведем несколько нелинейных уравнений, солитонные решения которых могут быть получены аналитически.
Уравнение Кортевега - де Фриса (КдФ)
ut + uux + uxxx = 0 
(здесь неизвестная функция u(x,t) характеризует отклонение некоторой величины от равновесного значения). Это одно из первых уравнений такого типа, выведенное в 1895 году для описания эволюции волнового пакета на поверхности жидкости малой глубины.
Уравнение синус-Гордона (СГ) 
utt -uxx + sinu =0.
Интерес к этим структурам появился после численного решения системы Ферми-Пасты-Улама, моделирующей поведение цепочки атомов, связанных нелинейными упругими силами, и представляющей собой разностный аналог уравнения Кортевега - де Фриса. Было обнаружено, что равнораспределению энергии в такой системе препятствует солитон (термин, предложенный H. Забуским (N.J. Zabusky) [85]), переносящий энергию из одной группы мод в другую.
До начала 1960-х годов солитонами называли уединенную волну - волновой пакет неизменной формы, распространяющийся с постоянной скоростью по поверхности тяжелой жидкости конечной глубины и в плазме. Ныне под определение "cолитон" попадает множество разнообразных физических объектов.
Следует упомянуть и о чрезвычайно интересной концепции "топологической устойчивости" - использовании групп гомотопий, методов дифференциальной геометрии и т. д. для нахождения таких типов структур, которые устойчивы по отношению к переходу в другую группу гомотопий. Сейчас признано их важное значение как основы универсального подхода, применимого в квантовой теории поля, статистической механике и физике конденсированного состояния. Топологическую устойчивость не следует смешивать с необычайной устойчивостью солитона.
В реальных системах мы имеем дело не с "солитонами", а с "уединенными волнами". В математической литературе последних лет солитонами принято называть только решения в виде кинка (ступеньки) или импульса, относящиеся к точно интегрируемым одномерным гамильтоновым системам. Эти системы обладают рядом замечательных свойств. Например, отвечают допустимым типам возбуждений в системе ("нелинейным нормальным модам"), время жизни которых бесконечно велико, причем при "столкновениях" с другими возбуждениями их индивидуальность в асимптотике сохраняется. Суперпозиции, конечно, нет, но взаимодействие сводится в асимптотике к простому попарно-аддитивному сдвигу фазы. Таким образом, решение задачи с произвольными начальными условиями может быть записано в виде обобщенного преобразования Фурье по нелинейным нормальным модам. Среди других свойств интегрируемых систем можно отметить явление возврата, бесконечное число законов сохранения и т. д. Во многих случаях ценным оказывается следующее свойство: вклады разных нелинейных нормальных мод в интегралы движения полностью разделяются. Для уравнения СГ такими фундаментальными модами являются солитоны, "бризеры" (дублет, состоящий из пары солитон - антисолитон) и возбуждения непрерывного спектра.
Уравнения, имеющие солитонные решения, позволяют описать существенные свойства большого числа явлений, и, поскольку они позволяют получить исчерпывающую математическую информацию, значение таких моделей трудно переоценить. Следовательно, эти уравнения представляют собой достаточно хорошее приближение к реальной ситуации, если только учтены разумные реальные ограничения.
Численные методы могут оказаться крайне ценными в тех случаях, когда либо необходимо исследовать процессы, которые нельзя описать аналитически линейной теорией (или альтернативные подходы приводят к слишком сложным вычислениям), либо нужно найти возмущения решений достаточно сложного вида (например, N-солитонных), либо возмущение задается "плохой" с точки зрения математики функцией, либо желательно проверить результаты аналитических расчетов. Для интерпретации получающихся результатов важно, однако, иметь четкие представления о физике явления. Хорошим ориентиром здесь часто служат аналитические результаты, которые удается получить в простых ситуациях.
Поведение солитона аналогично динамике твердой частицы.
Численное моделирование дискретного варианта уравнения СГ показывает, что, по мере уменьшения ширины, солитоны все более "обрастают радиацией". Это приводит к появлению механизмов затухания и закрепления: солитоны не могут распространяться так же свободно, как в непрерывной системе. Основное отличие заключается в том, что трансляционная симметрия стала дискретной. Появляются дискретные положения солитонов, в которых их потенциальная энергия минимальна, и это приводит к возникновению закрепляющих потенциальных барьеров и модуляции скорости солитона с характерной частотой. Колебания солитона порождают излучение, в результате чего он затухает (полная энергия сохраняется).



ГЛАВА 3. 	ЛОГИСТИЧЕСКОЕ  УРАВНЕНИЕ 				И  ЕГО  ИССЛЕДОВАНИЕ
Логистическое уравнение, поведение решения логистического уравнения 
при r < 4,  логистическое уравнение при значении параметра роста  r = 4, 
логистическое уравнение в случае переменной величины параметра роста, принципы управления нелинейными неустойчивыми системами, кправление 
неустойчивой системой методом прицеливания, системы логистических 
уравнений, принцип причинности


В этой главе мы рассмотрим одну из наиболее популярных математических моделей, используемых в различных областях общественных наук. Существенные аспекты эволюции различных социальных систем можно изучать с помощью, так называемого, логистического уравнения.
1. Логистическое уравнение
Впервые логистическое уравнение было выведено в 1845 г. П.Ф. Ферхюльстом при попытке дать объяснение, почему при достаточно большом времени наблюдения появляются ограничения роста численности популяции. Представим себе остров, населенный какой-то популяцией животных. Пусть хj есть отношение численности рассматриваемой популяции в j-м году к некоторому фиксированному значению, равному максимальной численности этой популяции, которая может выжить на данном острове. Тогда связь между хj+1 и хj будет следующей:
хj+1 = rхj - sхj2.
Первое слагаемое rхj описывает естественный прирост популяции, а второе - sх2 показывает снижение этого естественного роста из-за слишком большого числа особей в популяции. Если r больше единицы, то первый член выражает тот простой факт, что популяция возрастает в r раз каждый год. Если бы это слагаемое было единственным, численность популяции росла бы экспоненциально, что далеко от реальности, так как, например, из-за недостатка пищи, численность популяции не может вырасти больше некоторой величины.
Сделав замену хj на (r/s)хj, можно привести исходное уравнение к стандартному виду:
хj+1 = rхj(1 - хj).  			(3.1)
При этом величина r, обычно называемая параметром роста, может принимать значения 0 < r ( 4, а переменная х может изменятся в интервале 0 < х < 1, j = 0, 1, 2, ...
Это уравнение описывает многие явления в природе и обществе. Например, с его помощью можно описать задачу увеличения прибыли, получаемой в результате деятельности какой-либо коммерческой организации. При достижении достаточно больших величин прибыли всегда наступает ограничение ее роста, что необходимо учесть введением соответствующего члена, типа r(1 - хj), вместо r, отражающего ограниченность имеющихся денежных ресурсов.
Список разделов знания, в которых логистическое уравнение является простейшей моделью изучаемого явления, можно с легкостью продолжить. Недаром некоторые ученые называют его уравнением Жизни, и при этом ограничительный член r(1 - хi,) интерпретируют как формирование сегодняшним поведением будущего [19].
Алгоритм исследования подобных моделей, к которым относится и логистическое уравнение, заключается в том, что рассматривается динамическая система, состояние которой задается одной переменной х. В начальный (нулевой) момент времени эта переменная имеет значение х0. В последующие дискретные моменты t = j( она равна хj. Основное допущение модели состоит в том, что хj - значение переменной на j-м этапе - определяет ее значение на следующем этапе. Математически это выражается следующим образом:
хj+1 = R(хj),
где R(х) - функция, описывающая динамику системы. Задача состоит в том, чтобы проследить эволюцию системы. Это означает, что, начиная с х0, следует найти х1 = R(х0), х2 = R(х1) и т. д., затем исследовать последовательность х0, х1, х2, ... . 
Такая форма записи логистического уравнения делает его удобным для исследования на ЭВМ. Тем более, что, несмотря на простоту, эта модель проявляет такие свойства вычислительных алгоритмов, как их устойчивость, или, наоборот, стремление к хаосу.
Само исследование состоит в изучении поведения решения этого уравнения при больших j. В частности, представляет интерес поведение решения в зависимости от параметра роста r. И задача здесь вовсе не в том, чтобы построить хорошую модель перечисленных выше явлений, а показать, что есть некоторые важные общие принципы, которые нельзя не учитывать при построении более детальных моделей.
2. Поведение решения логистического уравнения при r < 4
Исследование уравнения (3.1) с помощью компьютера дает возможность выяснять предельное значение хj при j ( ( для различных значений параметра роста r и различных х0. Оказалось, что в диапазоне 0 < r < 1 имеется единственное предельное значение х = 0.
При r = 1 происходит первая бифуркация, когда решений становится два и, наряду с х = 0, при r ( 1 появляется решение x* = 1 - 1/r удовлетворяющее уравнению x* = rх*(1 - x*). В диапазоне 1 < r < 3 компьютер дает предельное значение, отвечающее именно этому решению, поскольку решение х = 0, в этом диапазоне, неустойчиво, а решение х = x* устойчиво.
В точке r = 3 происходит вторая бифуркация - наряду с решениями х = 0 и х = х*, которые уже оба становятся неустойчивыми, появляется устойчивый цикл два. Появление n-цикла при каком-либо r означает, что предельным решением уравнения является последовательность циклически повторяющихся через n шагов одних и тех же значений величины х, для этого r. Решения цикла два можно найти так. Из условия цикличности следует, что хj+2 = rxj+1(1 - xj+1) = xj или
r2х(1 - х)(1 -rx + rx2) = х
ясно, что решения х = 0 и х = х* также являются решениями этого уравнения, поэтому его можно поделить на х и (1 - r-1 - х). В результате получим квадратное уравнение
x2 - (1 + r-1)x + (1/r)(1 + r-1) = 0 			(3.2)
Его корнями будут:
x1,2 = [(1 + r-1) ( (1 + r-1)1/2(1 - 3/r)1/2]/2  		(3.3)
На основании (3.3) заключаем, что действительные корни (3.2) появляются только в области r ( 3.
При r между 3 и 1 + 61/2 ( 3,4495 отсутствует единственное предельное значение. В этой области оно находится между двумя значениями, лежащими соответственно на верхней и нижней ветвях кривой. Обозначим верхнее значение r, при котором двухстадийное решение становится неустойчивым, через r2. При r, превышающих r2 = 1 + 61/2, предельное значение колеблется уже между четырьмя ветвями. И опять такое поведение оказывается устойчивым лишь до некоторого предельного значения r4. При r, превышающих r4, мы имеем восьмистадийный цикл, который устойчив в интервале от r4 до r8, а свыше r8 возникает шестнадцатистадийный цикл. Последовательное удвоение происходит до тех пор, пока не будет достигнуто значение rc ( 3,5699, при котором удвоения циклов заканчивается и образуется цикл с n = 2(.
Детальное исследование сценария удвоения циклов вплоть до цикла 2( показало, что если при r ( 3.4699 наблюдать за появлением все новых устойчивых бифуркаций и составить величину
( = (rn - rn-1)/(rn+1 - rn),
где rn - значение параметра роста r, при котором появляется устойчивый цикл 2(, то компьютерные исследования позволяют сделать вывод, что при n ( ( имеется определенный предел (*, значение которого равно 4.669201660910... Это универсальное число называют "числом Фейгенбаума".
Важно отметить, что при любом r существует свое время установления предельного решения, то есть такое число j*(r), при котором с определенной степенью точности осуществляется предельное решение с j ( (. Однако в рассматриваемой однородной системе с r = const эта иерархия времен установления никак не проявляется.
3. Логистическое уравнение при значении параметра роста r = 4
Для r = 4 (и только для этого r) уравнение (3.1) можно решить путем замены переменой:
хj = (1 - cos 2((j)/2.
При такой замене уравнение (3.1) преобразуется следующим образом:
(1 - cos2((j+1)/2= 4[(1 - cos2((j)/2][(1 + cos2((j)/2] = (1 - cos4((j )/2.
cos2((j+1 = cos2(2((j) ( (j+1 = 2(j, т. е.
(j = 2 j(0   ,   (3.4)
определяя главное значение (  как значение в интервале
0 ( ( ( 1/2  						(3.5).
Каждую итерацию здесь нужно понимать в смысле главного значения, то есть приведенную к интервалу (3.5) путем прибавления целого отрицательного числа и приведения (j+1 сначала к интервалу -1/2 ( (j+1 ( 1/2, а затем и к интервалу (3.5) путем замены отрицательного значения (j+1 на ((j+1.
Можно непосредственно убедиться в том, что это решение соответствует хаосу в системе. Действительно, поскольку значение хj связано с (j функцией cos2((j, добавление целого числа к (j (или замена знака) приводит к тому же самому значению хj. Поэтому если записать (j в обычной десятичной системе, например положив (j = 11,2693..., то можно просто отбросить 11. Еще лучше использовать двоичную систему для (0, положив, например
(0 = 1/2+ 1/8+ 1/16+ 1/64 ... = 0,101101...
При этом умножение на 2 означает просто сдвиг запятой, так что
(1 = 0,01101 ..., (2 = 0,1101,... (3 = 0,101... (4 = 0,01....
Таким образом, значения (j, порождаемые любым начальным (0, зависят от j-го и следующих разрядов (0. Это позволяет дать одно из возможных определений хаотического поведения: динамическая переменная хj при больших j принимает значения, которые чрезвычайно сильно зависят от точного начального значения х0. Действительно, варьируя (3.4), получим
((j = 2j((0, 					(3.6)
т.е. все решения логистического уравнения с параметра роста r = 4 экспоненциально неустойчивы и мы имеем то, что называется хаосом - решения, полученные на компьютере, описывают блуждания от одного неустойчивого решения к другому. Очевидно, что такая ситуация корректно может быть описана только статистически, путем введения вероятности нахождения системы в элементе dх. Нетрудно получить выражения для соответствующей плотности вероятности ((х). Для этого (3.4) будем рассматривать как ансамбль решений, различающихся начальными данными (0. При j = const плотность вероятностей будет (( = d(/d(0 = 2j = const, но d(0/dx = (1/2()[x(1 - x)] -1/2, поэтому ((x) = (( d(0/dx = c[x(1 - x)]-1/2
Из условия нормировки ((х)dх = 1 определяем константу с = 1/(. Окончательно искомое выражение для плотности вероятности будет
((x) = (1/()[x(1 - x)]-1/2 			(3.7)
Отсюда следует, что среднее по времени в такой хаотической системе имеет одну и ту же величину почти для любой начальной точки. Это еще одно доказательство того, система при r = 4 является хаотической.
Наконец, последнее определение хаоса состоит в том, что спектральная функция системы
P(() = |xje2(i(j|2/N			(3.8)
плавно зависит от частоты в широком диапазоне. При r = 4 и больших N эту функцию можно вычислить точно. Она оказывается совершенно плоской почти для любого х0.
В то же время существуют некоторые особые значения х0, приводящие к необычной картине поведения хj. Эту картину легче представить, если предварительно заметить, что всегда можно выбрать значение (j так, чтобы оно лежало в интервале (0, 1/2). Действительно, как уже говорилось, мы можем менять знак параметра (j и добавлять к нему любое целое число, не меняя значения (j. Поэтому  рекуррентное соотношение для (j всегда можно представить в виде:
(j+1 = 2(j при 0 ( (j ( 1/4,     (j+1 = 1 - 2(j при 1/4 ( (j ( 1/2.	(3.9)
Выбрав в качестве начального значения (0 любое рациональное число, мы получим повторяющуюся последовательность (j или хj. Например, если положить (0 = 1/3, то все последующие (j также будут равны 1/3, так что это значение (0 представляет собой фиксированную точку. Если начать с (0 = 1/5, то последующие значения (j равны 2/5, 1/5, 2/5 и т. д. Таким образом, здесь имеет место циклическое поведение с длиной периода, равной 2. Приведем еще одно решение: 1/9 2/9 4/9 оно имеет период 3. Вообще, уравнение (3.9) обладает периодическими решениями с любыми возможными периодами.
Чтобы проследить, как возникает хаос в данной модели, обратимся к спектральной функции, определенной выражением (3.8). Если неподвижная точка устойчива, то спектральная функция имеет резкий пик при нулевой частоте. При двухстадийном режиме в спектре появляется еще один максимум при ( = 1/2. Конечно, эта частота равна обратному периоду движения. Если r лежит между r2 и r4 , возникают еще два максимума, при ( = 1/4 и ( = 3/4. С ростом периода появляется все больше спектральных линий, и, наконец, при rс их число становится бесконечно большим.
Понятно, однако, что спектр с бесконечно большим числом дискретных линий, конечно, - не то же самое, что широкополосный непрерывный спектр. Даже при r = rс в системе мы не имеем такого полного хаоса, как при r = 4. Тем не менее, в данной модели возникновение бесконечного числа линий путем последовательного удвоения периода есть главный путь к порождению хаоса.
При этом в спектре наряду с плавным широким фоном, создаваемым случайными блужданиями х внутри полосы, имеется также достаточно острый пик при ( = 1/2, происхождение которого связано с регулярными перескоками из одной полосы в другую. При r'4 поведение системы вновь изменяется. Теперь появляются четыре полосы; пронумеруем их снизу вверх цифрами 1, 2, 3, 4. В таком режиме движение происходит следующим образом: из полосы 1 система перескакивает в полосу 3, затем в полосы 2 и 4, что, конечно, не случайно. Такой порядок в точности соответствует переходам в четырехстадийных циклах. При r, меньших r'8, появляются восемь полос, при r, меньших r'16, их уже становится шестнадцать и т. д. Когда возникнет 2п полос, х возвращается в данную исходную полосу после 2п шагов, однако внутри полосы она распределена совершенно хаотически, как и в случае r = 4. В 2n-полосной области в спектре имеются острые максимумы при частотах, кратных 2-п, находящиеся на размазанном фоне, соответствующем случайным блужданиям внутри полосы. Вполне очевидно, что эти блуждания очень похожи на те, которые происходят при хаотическом движении, когда r = 4. Единственная разница заключается в масштабе. В случае 2n полос блуждания происходят только в пределах узких областей внутри каждой полосы. Добавим, что в результате блужданий система возвращается в данную полосу через каждые 2n шагов, так что изменение r приводит также к изменению временного масштаба.
Описанный процесс последовательного расщепления полос дает возможность интерполировать поведение системы между полным хаосом при r = 4 и 2( -стадийным циклом при r = rс. При подходе r к rс сверху число полос непрерывно возрастает и наконец при r=rс оно становится равным 2(. Ширина полосы в этом процессе стремится к нулю, и каждая полоса переходит в одну из бесконечно большого числа линий, которые возникают при стремлении r к rс снизу.
Итак, совокупность решений логистического уравнения при значении параметра роста r = 4 состоит из счетного множества периодических решений и континуума непериодических решений. Все эти решения являются неустойчивыми. Поэтому, во всяком случае, в присутствии фона внешних возмущений, актуальная траектория представляет собой блуждание точки в пространстве состояний х по этим точным решениям с распределением вероятностей (3.7).
Необходимо сделать следующие замечания относительно процесса получения численного решения, отвечающего режиму хаоса, то есть режиму блуждания точки в пространстве состояний по точным решениям. В общем случае для любой заданной степени точности вычислений ( существует свое значение шага j((), начиная с которого всегда осуществляется решение, отвечающее хаосу. Для этого момента величина ((j ~ 1 и поэтому на основании (3.6)
j ~ lg(/lg2
Это соотношение относится к циклическим решениям логистической системы. Что касается непериодических решений, которых большинство, то по их сути вычисления с любой, сколь угодно высокой степенью точности, дают значения, отвечающие распределению (3.7). По-видимому, именно это свойство называют обычно стохастичностью.
Итак, предельное состояние логистической системы (j ( () при значении параметра роста r = 4 является особым состоянием. Его притягивающее свойство состоит в том, что распределение вероятностей нахождения точки, движущейся по траектории, является универсальным, совпадающим с (3.7), и не зависит от конкретной трубки движений, начинающейся с произвольно заданного значения х0, находящегося в интервале 0 ( х0 ( 1. Для других значений r, например, 1 < r < 3, решение х* = 1 - r-1 является обычным аттрактором. То же можно сказать и в отношении бифуркаций удвоения циклов.
Длительные периоды упорядоченного движения чередуются со вспышками беспорядка. Такой вид поведения называется перемежаемостью, и некоторые его свойства довольно подробно изучены. Перемежаемость: краткая остановка при почти упорядоченном поведении на пути к хаосу.
4. Логистическое уравнение в случае переменной величины
параметра роста
Рассмотрим теперь систему
хj+1 = r(j)xj(1 - хj),					(3.10)
где параметр роста r сам зависит от номера шага j, принимая конечное значение r = 4. Пусть параметр роста r связан с номером шага j соотношением r(j) = 2(1 + ( j), где j может изменятся в пределах от 0 до ( 1/(, то есть параметр r принимает значения в диапазоне 2 ( r ( 4.
В уравнении (3.10) будет проявляться иерархия времен установления предельного состояния системы (3.1). При этом некоторые неустойчивости, а, следовательно, и соответствующие им бифуркации могут не успеть развиться на основном характерном времени изменения r.
Рассмотрим устойчивость решения х = х*. Дифференцируя (3.10) при j = const, имеем (хj+1 = (xjr(1-2xj), откуда для хj = 1 - r-1 получим
(хj = (x0(-1)jеkj,  k = lg(r - 2)/lge 			(3.11)
На основании (3.11) получаем следующую оценку для числа шагов j((), в течении которых амплитуда неустойчивости достигает значения порядка единицы j(() = |lg(|/lg(r - 2), где ( - точность счета. Это значит, что при большей точности счета бифуркация существенно запаздывает по сравнению с меньшей точностью счета.
В связи с анализом поведения системы (3.10) возникает следующий вопрос. Почему все же для достаточно малого значения фона внешних возмущений ( реализуется гладкое решение х = х*, несмотря на то, что само изменение r при изменении j на единицу весьма существенно ((r = 2( >> (), но оно не является тем возмущением, которое приводило бы к развитию следующей бифуркации? Оказывается, что для возбуждения последующих бифуркаций необходимы коротковолновые возмущения с длиной волны (j ~ 1, в то время как изменение параметра r вводит лишь длинноволновые возмущения (j ~ (-1. Причем, это справедливо только тогда, когда r само рассчитывается с точностью, не ниже (.
Для того, чтобы это понять, построим теорию длинноволновых решений уравнения (3.10). Его можно переписать в виде
хj+1 - хj = r(j)хj(х* - хj), x* = 1 - 1/r(j) 		(3.12)
Считаем, что r(j) на одном шаге (r = ( = 2( изменяется мало. Для длинноволновых решений можно написать (хj+1 - хj) ( dx/dt, t ( j, 1 ( t ( 1/(
Выражение (3.12) примет вид
dx/dt = r(t)x[x*(t) - x]				(3.13)
Уравнение (3.13) описывает быстрый и медленный процессы.
Быстрый процесс ((j ( 10) - это процесс, в ходе которого решение стремится к одной из двух полос шириной порядка (, расположенных в окрестностях х = 0 и х = х*. Для его описания можно считать, что r и х* постоянны. Тогда
х = х*/(1 + Ce-(r-1)t)
где С - постоянная интегрирования. Для r < 1 решение стремится в полосу, расположенную около х = 0, а для r > 1 - в полосу около х = х*. Ясно, что это решение имеет смысл только в области, где первая бифуркация уравнения (3.1) устойчива, то есть при r ( 3.
Медленный процесс - это эволюция решения в ( - полосе. Уравнения (3.13) можно переписать в виде
х = х* - (dx/dt)/rx 				(3.14)
Поскольку dx/dt ~ (, то х можно представить в виде ряда по степеням малого параметра (
x = x* + x(1) + x(2) + ...			(3.15)
На основании (3.14) имеем x(1) = -(dx*/dt)/rx*
x(2) = -(1/rx*)[(dx*/dt)(x(1)/х*) - dx(1)/dt] 	(3.16)
Можно уточнить (3.16), отыскивая члены ряда (3.15) не с помощью (3.13), а на основании точного уравнения (3.12) xj - xj* = - (xj+1 - xj)/r(j)xj
В итоге получим хj(1) = - (xj+1* - xj*)/r(j)xj*
хj(2) = (1/r(j)xj*[(xj+1* - xj*)(xj(1)/xj*) - (xj+1(1) - xj(1))]    (3.17)
Таким образом, если расчет производится точно (( = 0), то фон коротковолновых возмущений отсутствует, и если начинать счет со значения r = 2 при любом начальном значении х0, имеет место процесс быстрого стремления решения в ( - полосу около х*, а затем, в соответствии с (3.17) решение медленно эволюционирует в этой ( - полосе. Поэтому для возбуждения последующих бифуркаций, необходимо иметь фон коротковолновых возмущений, который и обеспечивается компьютером, производящим расчет с конечной точностью (. Ясно также, что важную роль при получении решений для неустойчивых систем играет сама организация процесса счета, включая правила округления чисел. От этого зависит характер фона возмущений.
Математические методы, позволяющие исследовать траекторию неустойчивой системы, должны учитывать особенности негладких решений - возможность возбуждения коротковолновых неустойчивостей, приводящих к каскаду бифуркаций. Эта возможность, однако, не реализуется, если справедливо условие dx/dt ~ ( << 1.
Отмеченное всюду ослабление зависимости распределения вероятностей от точности счета по мере продвижения по траектории системы в зону хаоса говорит, по-видимому, и о небольшом времени релаксации для плотности вероятностей в области хаотических решений.
Рассмотренное в этом разделе развитие динамического процесса в неоднородной системе с переменным параметром роста имеет и более общее значение, так как все реальные системы неоднородны, и их эволюция происходит в условиях присутствия фона внешних возмущений. При этом на рассматриваемых, всегда конечных, временах ( возможность реализации тех или иных бифуркаций определяется, по крайней мере, двумя независимыми параметрами - параметром (, характеризующим неоднородность системы, и параметром фона (. Суть дела состоит в том, чтобы выяснить, успеет ли возбужденная внешним фоном неустойчивость привести на характерном времени развития процесса ( к образованию соответствующей бифуркации.
5. Принципы управления нелинейными неустойчивыми системами
Рассмотрение проблемы управления поведением нелинейных неустойчивых систем начнем с обсуждения самой постановки вопроса. Для начала проведем простейший анализ с целью выяснить, почему решение х* = 3/4 логистического уравнения хj+1 = 4хj(1 - хj) неустойчиво. Его пересечение с диагональю квадрата хj = хj+1 = 1 дает х* = 3/4. Если начать с некоторого значения хj, близкого к х*, и графически находить последующие значения хj+1, хj+2,..., мы будем двигаться по траектории, представляющей собой ломанную спираль, раскручивающуюся от точки х*, то есть мы все дальше уходим от этой точки, и, следовательно, она неустойчива.
Такой вид спирали объясняется тем, что рассматриваемое отображение xj+1 = F(xj) имеет абсолютную величину производной F'(x) большую единицы в точке х*. И наоборот, если бы выполнялось условие |F'(х*)| < 1, то траектория, представляла бы собой скручивающуюся к точке х* спираль, и решение х = х* было бы устойчиво.
Линейный анализ устойчивости решения х = х* отображения хj+1 = 4хj(1 - хj) дает следующее. Вводя величину приращения (х = х - 3/4, после линеаризации имеем (хj+1 = -2(хj. Откуда (хj = (-2) j(х0
Если рассматривать одномерное отображение в общем виде
xj+1 = F(xj)  					(3.18)
для приращения в стационарной точке х* отображения (3.18) имеем (хj+1 = F'(x*)(хj и, следовательно, (хj = [F'(x*)] j(х0.
Таким образом, линейная устойчивость или неустойчивость стационарного решения х* определяется исключительно абсолютной величиной производной от отображающей функции в стационарной точке: если она больше единицы, то указанное решение неустойчиво, и наоборот, если он меньше единицы, то это решение устойчиво.
Этот вывод дает рецепт управления нелинейными неустойчивыми системами - локальным изменением устойчивости соответствующего отображения. Изменим немного исходное отображение (3.18) в окрестности стационарной точки одним из двух способов: либо путем наложения определенного, специально созданного фона внешних возмущений, либо путем некоторого изменения самой системы. В обоих случаях в результате получим измененное отображение
хj+1 = Ф(хj) = F(хj) + (F(хj) 		(3.19)
Выбор добавочной функции (F(хj) должен удовлетворять следующим требованиям.
1.Стационарная точка отображения (3.18) должна оставаться  и стационарной точкой измененного отображения (3.19).
2.Должна быть обеспечена устойчивость выбранной стационарной точки при новом отображении (3.19), то есть |Ф'(х*)| < 1.
Если все решения исходной системы (3.18) неустойчивы, осуществляется хаотический характер ее решений, то есть происходит блуждание системы от одного неустойчивого решения к другому с определенной плотностью вероятностей ((х).
Если теперь F(х) изменить на Ф(х) (3.19), то блуждающее решение сохранит свой характер везде, кроме окрестности точки х = х', в которой действует возмущение (F(х). Поэтому решение системы с возмущением (3.19), имеющее вначале блуждающий характер, попадет, в конце концов, в окрестность точки х* и останется там в силу притягивающего характера решения х = х* системы (3.19).
Например, если взять логистическое уравнение со значением параметра роста r = 4 с малым ~ (1/2 возмущением
xj+1 = 4хj(1 - хj) + 2(xj - 3/4)ехр[-(xj - 3/4)2/(] 	(3.20)
При ( << 1 исходное отображение уравнения (3.1) с параметром роста, равным 4, существенно изменяется только в малой, порядка ~ (1/2, окрестности точки х = х* = 3/4. Заметим, что эта точка является также стационарной точкой и отображения (3.20). Производная от отображающей функции (3.20) в стационарной точке равна нулю, то есть условие устойчивости решения х = х* здесь уже выполняется.
Поскольку вне малой окрестности точки х = 3/4 решение по-прежнему неустойчиво, оно продолжает блуждать с плотностью вероятности (3.7), пока не попадет в (1/2-окрестность точки х = 3/4, которую, в силу устойчивости решения х = 3/4, оно уже не может покинуть. Происходит "залавливание" траектории, то есть разрушение хаотического режима. Этот процесс и далее мы будем называть залавливанием.
Итак, залавливание осуществляется путем создания специального типа возмущений, имеющих характер обратной связи. Это возмущение может быть организовано либо небольшим изменением свойств самой системы, либо созданием дополнительного фона внешних возмущений особого вида. Ясно, что выбор залавливающего возмущения для одной и той же системы может быть осуществлен разными способами.
Можно осуществить залавливание в цикл с номером n для логистического уравнения с параметром роста, равным 4. Перейдем от отображения хj+1 = F(хj) к отображению
хj+n = F*(хj)					(3.21)
где F*(хj) - функция, осуществляющая преобразование сразу через n шагов. Для отображения (3.21) n-цикл будет уже стационарной точкой хi*, где хi* - одно из n значений в этом цикле. Теперь для перевода n-цикла в устойчивое состояние применим тот же способ, что и выше для стационарной точки х = 3/4. Таким образом, отображением, залавливающим решение в n-цикл, будет следующее хj+n = F*(xj) - F*'(xi*)(xj - хi*)ехр[- (xj - xi*)2/(]. Например, для n = 2, Е*(х) = 16х(1 - х)(1 - 2х)2, х*1,2 = (5 ( 51/2)/8.
К сожалению, практическая реализация этого способа залавливания в n-цикл затрудняется сложностью нахождения конкретного вида функции F*. Поэтому был использован иной, более простой способ залавливания, заключающийся в следующем. Введем вместо отображения хj+1 = F(хj) отображение вида
хj+1 = F(хj) - F'(хi*)(хj - хi*) ехр[- (xj - xi*)2/(],	(3.22)
вносящее возмущение в (1/2-окрестности точки хi*. Поскольку отображение (3.22) переводит точку х = хi* в устойчивое состояние, оно может залавливать траекторию в рассматриваемый n-цикл. При этом важно, чтобы отклонение (х, накапливающееся за n шагов, не достигало величины, выводящей очередное значение хj+n из области притяжения в окрестности точки хi*. Тогда, если некоторое значение хj окажется случайно в этой области, то и все последующие значения хj+nk, где k = 1, 2, ..., останутся в ней, то есть решение выйдет на n - цикл.
Оценим номер шага, на котором происходит залавливание. Точка, блуждая в области [0, 1] с плотностью вероятности ((х) ~ 1, попадает в область залавливания шириной (1/2 за j шагов, причем j располагается в интервале [0, jmax]. Само jmax определяется из условия jmax((х)(1/2. Таким образом jmax ~ 1/( 1/2. Правда, эта оценка достаточно груба.
Как уже говорилось, процесс залавливания можно организовать разными способами, и экспоненциальная добавка к отображению не является единственно возможным видом залавливающего возмущения. Например, отображение (3.18) можно модифицировать и следующим образом
xj+1 = F(хj), если |хj - хi*| > ( ,  xj+1 = F(xi*) ,если |хj - хi*| ( ( ,
где ( << 1. Для практической реализации вычислений последнее выражение более привлекательно ввиду его исключительной простоты.
Особое состояние, осуществляющееся в логистической системе при r = 4, может существенным образом зависеть от характера малого фона внешних возмущений, имеющего упорядоченный характер. Более того, особое состояние, имеющее характер хаоса, может измениться даже качественно и перейти в такое состояние, которое является аттрактором.
Рассмотрим поведение отдельных траекторий логистического уравнения с r = 4. Пусть при j = 0 задан некоторый малый фиксированный элемент (x0. Выясним, как он изменяется по мере роста величины j. На основании уравнения cos2((j+1 = cos2(2((j), а также (3.6) имеем 2j(((0/(x0)(x0 = (((/( x)( x и ( x/(( = (sin2(( = 2((x(1 - x))1/2. Поэтому
( x = 2j[x(1 - x)/x0(1 - x0)]1/2( x0 		(3.23)
Логарифмируя его и вводя обозначения
( x = 10 m, ( x0 = 10 p,  			(3.24)
получим
р= m - (lg2)j - 1g[x(1 - x)/x0(1 - x0)]1/2 	(3.25)
Задавая величины х0 и (х (то есть m), в результате расчета находилась величина (х0 (то есть р) в зависимости от j. Последний член в выражении (3.25) оказывает малое влияние, приводя лишь к небольшим флуктуациям около прямой р = m - (1g 2)j.
Хорошей оценкой для развития трубки движений в случае логистического уравнения с r = 4 является
( х = 2j( х0 					(3.26)
Используем это соотношение для нахождения уточненной оценки номера шага залавливания n-цикла j* в случае отображения вида (3.22). Разлагая экспоненциальную функцию F(хj) в ряд в окрестности точки хi*, для оценки отклонения, набегающего на одном шаге после попадания траектории в (хj окрестность точки хi*, получим |( хj+1| ~ |F'(x*i)( хj3/(|.
После однократного перебора n значений х, принадлежащих данному n-циклу, на основании (3.26), это отклонение возрастет в 2n раз. Одновременно оно не должно превзойти величины области залавливания (, то есть должно выполняться неравенство 2n( 3/( ( (. Поэтому ( ( ((/2n)1/2. Откуда окончательно получим j* ~ (2n/()1/2.
Заметим, что для справедливости этой оценки точность счета ( должна удовлетворять условию ( < (. Одновременно должно выполняться еще одно условие ( << 1/n.
Рассмотрим теперь процесс залавливания для логистического уравнения в случае значения параметра роста r ( 4. Рассмотрим логистическое уравнение с возмущением
xj+1 = rxj(1 - хj) + k(хj - х*)ехр[-(xj - x*)2/(] ( Ф(х)	(3.27)
Как мы уже видели выше, решение х = х* логистического уравнения устойчиво в области 1 < r < 3 и неустойчиво при r > 3. До r ( 3.45 устойчив двойной цикл. Выберем k в (3.27) так, чтобы решение х = х* было устойчиво и в области r > 3. Для удовлетворения требования линейной устойчивости необходимо, чтобы |Ф'(х*)| < 1, откуда следует неравенство
|2 - r + k| < 1					(3.28)
Здесь имеют место одновременно два аттрактора, соответствующие стационарной точке и двойному циклу. Попадание точки в тот или иной аттрактор определяется начальным значением х0.
Область устойчивости стационарного решения логистической системы с возмущением (3.27) может быть и больше, чем (3.28), или, что то же самое, r - 3 < k < r - 1, за счет явления нелинейной устойчивости. Обозначая у = х - х*, получим yj+1 = (2 - r)yj, - ryj2 + kyjехр(-yj2/(), если уj+1 = уj = у - неподвижная точка, то при у ( 0 имеем
1 + [r/(r-1)]y = [k/(r-1)]ехр(-y2/() 		(3.29)
Если k > r - 1, то вследствие того, что левая часть (3.29) возрастает от 1, а правая убывает от величины, большей 1, при увеличении у от нуля, то в (1/2-окрестности точки х* существует ненулевое решение уравнения (3.29), то есть новая стационарная точка.
При увеличении k новая стационарная точка теряет устойчивость, но зато появляется внутренний устойчивый цикл 2. С дальнейшим увеличением k этот цикл, в свою очередь, теряет устойчивость. Тем не менее, все значения хj, кроме нескольких начальных, лежат в (1/2-окрестности точки х*.
Если и дальше увеличивать параметр k, значения хj выходят из (1/2-окрестности точки х*, а при k = 10 дополнительный член практически уже не оказывает влияния на распределение плотности вероятностей.
В другой области линейной неустойчивости k < r - 3 возмущенное логистическое уравнение проявляет совсем другие свойства. Видно, что даже при незначительном уменьшении k от значения r - 3 стационарная точка перестает быть устойчивой. Однако при этом проявляется хорошо известное в физике свойство квазистационарного уровня с конечной шириной спектральной линии. Хотя точка х* и не является устойчивой, ее существование проявляется в виде пика конечной ширины на графике функции распределения вероятностей. Такая форма "спектральной линии" функции распределения вероятностей объясняется следующим образом. При k = 1 и k < 1 инкремент нарастания отклонения от стационарной точки х* будет очень мал, так что траектория, попав в окрестность этой точки, проведет там время, гораздо большее, чем она провела бы в этой окрестности в отсутствии возмущающего члена.
Рассмотрим отображение хj+1 = F(хj) и пусть оно допускает n-цикл хi* где i = 1 2 ..., . Исследуем линейную устойчивость этого n-цикла. Отклонение от некоторого решения цикла хi* обозначим за (хi. Дифференцируя его, имеем (хj+1 = F'(хi*)( хj, j = 1, 2, ..., i = 1, 2, ..., n
Делая перебор по всем окрестностям решений n-цикла, можно написать (хn+1 = F'(хi*)(х1. Согласно критерию линейной устойчивости n-цикла, |(хn+1/(х1| < 1. Поэтому необходимым и достаточным условием линейной устойчивости n-цикла хi* будет |F'(хi*)| < 1
И наоборот, условием неустойчивости в линейном приближении является
|F'(хi*)| > 1 					(3.30)
Предположим, что рассматриваемый n-цикл хi* неустойчив. Найдем малое возмущение типа (3.27), такое, чтобы этот цикл стал бы линейно устойчив. Можно, например, написать
xj+1 = F(хj) + k(хj - х1*)ехp[ - (xj - x1*)2/(]		(3.31)
где х1* - какое-либо фиксированное значение из хi*, а ( достаточно малая величина, так чтобы выполнялось соотношение (1/2 << (x*min, а (x*min - минимальная разность между двумя соседними значениями решений цикла хi*.
Выполнив перебор окрестностей (хi рассматриваемого цикла, как это уже делалось выше, получим вместо условия (3.30) следующее условие устойчивости n-цикла отображения (3.21)
|F'(хi*)[F'(х1*) + k]| < 1 			(3.32)
В примененном выше способе залавливания отображения хj+1 = F(хj) предполагается k + F'(х1*) = 0, что является частным случаем более общего условия линейной устойчивости (3.31). Из этого условия следует выбрать какое-либо значение k. Одновременно оно является условием залавливания n-цикла хi*, если все остальные решения отображения хj+1 = F(хj) неустойчивы.
Если имеется несколько устойчивых решений, для залавливания в n-цикл, помимо действия малого возмущения (3.31), удовлетворяющего условию (3.32), необходимо осуществить еще одну процедуру, обычно называемую прицеливанием (см. следующий раздел).
Сосредоточим наше внимание на окрестности точки k=1, в которой решение теряет свойство линейной устойчивости. Другими словами, рассмотрим режим залавливания в его критической форме, на границе упорядоченность-хаос. Исследуемое отображение представим в виде
хj+1 = 4хj(1 - хj) + (1 + ( - ()(хj - 3/4)ехр[ - (xj - 3/4)2/(]	 (3.33)
Оказывается, что возможны два случая, отличающиеся друг от друга малым изменением параметра (. Эффекты залавливания осуществлялись, хотя и при небольших значениях уровня упорядоченных возмущений ~ (1/2, но при больших ~ 1 значениях производных залавливающего члена. Случай 1 отличается от случая 2 изменением значения производной залавливающего члена всего на величину ~ 10-3 от основной величины и также на величину ~ 10-3 от величины залавливающего члена.
Столь малые изменения в величине залавливающего члена указывает на существование тонкого эффекта, способного разрушить упорядоченное поведение системы.
По-видимому член типа 1 + ( при ( > 0 в (3.33) обеспечивает защиту системы. Величина же ( > 0, характеризуя степень разрушения упорядоченного процесса, может описывать деятельность разрушительных факторов. Представляется, что изложенная выше математическая модель - это простейшая модель защитной системы, работающей на основе очень слабой отрицательной обратной связи. Эта обратная связь осуществляется самой системой путем слежения за собственными процессами.
6. Управление неустойчивой системой методом прицеливания
Выше при рассмотрении явления залавливания мы предполагали, что траектория попадает в конструируемую область притяжения какого-либо решения во время блуждания по неустойчивым состояниям. При этом грубая оценка количества шагов, необходимых для залавливания, была j* ~ 1/(, где ( = (1/2 - характерный размер конструируемой области притяжения. Однако могут быть случаи, когда у исследуемой системы имеется несколько особых состояний, причем траекторию из некоторого фиксированного состояния необходимо перевести в область притяжения какого-либо другого особого состояния или аттрактора. В общем случае возникает задача о переводе системы из одного фиксированного состояния в другое фиксированное состояние за минимальное количество шагов.
Оказывается, для неустойчивой системы при условии достаточно малого внешнего фона возмущений это может быть достигнуто путем небольшой коррекции начального состояния системы. Соответствующий метод перевода системы из одного состояния в другое получил название метода прицеливания.
Сущность метода прицеливания изложим на примере логистической системы с показателем роста r = 4. Имеется система xj+1 = 4xj(1 - хj). Требуется перевести эту систему из какого-либо начального состояния х0 в заданное состояние х за некоторое количество шагов j путем небольшой коррекции (x0 начального состояния.
На первый взгляд, эта задача не имеет решения. Однако, для неустойчивой системы это не так по следующим причинам. Во-первых, в силу неустойчивости системы, на основании оценок, данных в предыдущем разделе, имеем ( x = 2j( x0, поэтому в течение j1 шагов j1 ~ |ln(x0| имеющееся первоначально малое отклонение (x0 переводится в отрезок (х = 1. Во-вторых, если продолжать решение в сторону уменьшения j (j, j - 1, j - 2, ...), то оно станет неоднозначным, и количество точек, которые по прошествии n шагов в сторону увеличения j превратятся в исходную точку х растет для системы xj+1 = 4xj(1 - хj) как 2j.
Решение поставленной задачи будем вести следующим образом. Просчитаем j1 шагов в прямом направлении (j ( j + 1) и j2 шагов в обратном направлении (j ( j - 1) до того момента, пока в расширяющуюся область (xj, при прямом счете не попадет одна из точек многозначной обратной траектории. Оценка требуемого для этого числа шагов j будет удовлетворять соотношению
2j1 (x0 = 1/2j2 				(3.34)
В правой части выражения (3.34) стоит оценка расстояния между соседними точками в многозначной обратной траектории. На основании (3.34) оценка числа шагов в процедуре прицеливания будет
j = 1n|( x0 |/1n2,     j = j1 + j2  			(3.35)
Для коррекции и выбора траектории, приходящей в заданную точку х по истечении j шагов, остается найти конкретное значение х внутри (x0, выводящее начальную точку в заданную точку х за j шагов.
Можно действовать и иначе, рассматривая лишь многозначную обратную траекторию до тех пор, пока одна из ветвей этой траектории не войдет в заданный интервал (x0. Оценкой необходимого для этого числа шагов по-прежнему будет выражение (3.35). Преимуществом здесь является то, что траектория определяется сразу и второго этапа не требуется. Конечно, для достижения требуемого результата необходима достаточно высокая точность счета. В противном случае можно гарантировать лишь попадание траектории в некоторый интервал (x, в котором находится точка х.
Явление, когда обратная траектория для логистического уравнения многозначна, имеет существенное научное значение в смысле понимания причинности. Действительно, рассматривая совокупность траекторий логистического уравнения, приводящую к некоторому состоянию х, можно обнаружить явную многозначность. Имеется бесчисленное множество различных траекторий, сходящихся к одному и тому же состоянию.
Понятие многозначности обратной траектории легко обобщается на любое нелинейное отображение
xj+1 = F(хj).					(3.36)
Степень ветвления обратной траектории на каждом шаге будет определяться количеством действительных корней нелинейного уравнения F(х) = const.
Грубая же оценка количества шагов j, необходимых для достижения системой заданного состояния х при величине допустимой максимальной коррекции (x0 по-прежнему будет
j ~ |ln(x0|. 					(3.37)
Факт многозначности обратной траектории нелинейного отображения тем более важен, что практически любому процессу можно поставить в соответствие свое отображение Пуанкаре, которое часто имеет вид xj+1 = F(хj). Этот факт, по существу, опровергает гипотезу о детерминированности мира. В действительности по состоянию мира в некоторый момент времени с уверенностью ничего нельзя сказать о его предыдущих состояниях.
Многозначность обратной траектории нелинейных систем говорит и об еще одном важном их свойстве, состоящем в том, что по прошествии сравнительно небольшого отрезка времени от начала развития процесса начальное состояние будет забыто и наступит предельное состояние, которое может быть особым состоянием. Забывание системой, в конце концов, своего начального состояния также является проявлением индетерминизма. При рассмотрении развития процесса в прямом направлении этот факт является следствием неустойчивости системы, то есть ( x = еpj( x0. Откуда, если потребовать выполнения условия (x ~ 1, снова получим оценку типа (3.37) для числа шагов (или количества времени), необходимых системе для достижения состояния индетерминизма, или, что то же самое, особого состояния.
На основании сказанного становится ясно, что применять к анализу нелинейных уравнений традиционные методы доказательства теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши являются с физической точки зрения не обоснованным. В мире, описываемом нелинейными уравнениями, нет единственности и нет задачи Коши в обычном смысле.
На основании вышеизложенного можно сказать, что неустойчивость - это свойство именно нелинейных систем на определенном этапе их эволюции, когда определяющие параметры достигают критических значений.
7. Системы логистических уравнений
Рассмотрим систему двух логистических уравнений с возмущениями
xj+1 = 4xj(1- xj) + a1(1)(хj -х*)ехр[-(xj -x*)2/(] + a2(1)(yj -y*)ехр[-(yj - y*)2/(]
                                                                                                             (3.38)
yj+1 = 4yj(1-yj)+ a1(2)(хj -х*)ехр[-(xj -x*)2/(] + a2(2)(yj - y*)ехр[-(yj - y*)2/(],
при этом считаем x* = y* = 3/4. Исследуем задачу о залавливании стационарного состояния х* = у* этой системы. Напишем общие условия линейной устойчивости системы уравнений для отображений
xj+1 = F(1)(xj, уj)				(3.39)
yj+1 = F(2)(xj, уj)					
Пусть х* и у* - стационарное решение этой системы. Производя их вариацию и получим:
(xj+1 = Fx(1)*(xj + Fy(1)*(yj     (yj+1 = Fx(2)*(xj + Fy(2)*(yj
где Fx(i)* = (F(i)/(х|x=x*,y=y*; Fy(i)* = (F(i)/(y|x=x*,y=y*, а (x = x - x* и (y = y - y*
Условиями линейной устойчивости, очевидно, будут |( xj+1| < |( xj| и |( yj+1| < |( yj| или
|Fx(1)*(x + Fy(1)*(y| < |(x|				(3.40)
|Fx(2)*(x + Fy(2)*(y| < |(у|					
Таким образом, в отличие от одномерных отображений в условия устойчивости многомерных отображений входят и сами величины вариации переменных. Условия (3.40) означают, что если имеется линейная устойчивость, то, как только величины (х и (y попадут в определенный сектор на плоскости (x(y, они с каждым следующим шагом будут уменьшаться, стремясь к нулю.
Обратимся снова к системе (3.38). Покажем, что для значений
а1(1) = 4; a2(1) = 1; a1(2) = -1; а2(2) = 2 		(3.41)
условия (3.40) выполняются в определенном секторе плоскости (х(у. Действительно, для значений (3.41) имеем
Fx(1)* = - 2 + а1(1) = 2;     Fy(1)* = а2(1) = 1
Fx(2)* = а1(2) = -1;       Fy(2)* = - 2 + а2(2) = 0
и условие устойчивости (3.40) принимает вид
I:  |(y + 2(х| < |(х|
II:  |(x| < |(y|
Оба эти условия вместе означают, что точка ((х, (y) должна находиться внутри сектора S, ограниченного прямыми (y = -(x и (у = -3(х. Следовательно, если отклонения от стационарной точки (х*, у*) находятся в секторе S плоскости (х(у, то в процессе эволюции они уменьшаются до нуля. Вне этого сектора отклонения, напротив, растут, стремясь к бесконечности.
Какими же свойствами будет обладать реальная траектория системы (3.38) в случае (3.41)? На первый взгляд может показаться, что при малом значении величины ( траектория (хj, уj), исходя из любых начальных точек (х0, у0), за исключением (х*, у*), будет носить характер блуждания до тех пор, пока через некоторое количество шагов j' она не попадет в сектор, ограниченный квадратом с центром в точке (х=(у=0 и длиной стороны порядка (1/2. После этого произойдет залавливание, и траектория будет стремиться к стационарной точке х* = у* = 3/4. В этом случае будет справедлива следующая оценка для j
jst ~ 1/( 				(3.42)
Однако, как показали расчеты, характер траектории оказался совершенно иной, и для его объяснения нужно анализировать нелинейную устойчивость системы. Как только, приблизительно через (-1/2 шагов, хj либо уj попадет в область притяжения своей стационарной точки, соответствующий залавливающий член начинает оказывать влияние на эволюцию и другой переменной, что нарушает оценку (3.42), приводя, по-видимому, к более раннему залавливанию. Кроме этого, из-за нелинейного влияния залавливающих членов стационарное решение либо становится отличным от (х*, у*), либо реализуются циклы или даже непериодические решения в (1/2-окрестности точки (х*, у*).
Необходимо обратить внимание на то, что в процессе расчета системы (3.38) следует вводить дополнительное "залавливающее преобразование". Так как вследствие влияния перекрестного члена значение хj или уj может выходить за пределы интервала [0,1]. Для одного логистического уравнения подобной ситуации не возникает, так как "залавливающий" член оказывал влияние только в окрестности значения хj = 3/4. Здесь же перекрестные члены оказывают влияние во всем интервале [0,1]. Дополнительное преобразование сводилось к возврату решения в интервал [0,1] и имело вид для xj: xj = 2 - xj ,если хj>1 и xj = |xj| , если хj < 0; и для уj: уj = 2 - уj ,если уj > 1 и уj = |уj| , если уj< 0.
Интересным поведением системы, описываемой уравнениями (3.38), является то, что при малом изменение одной из переменных можно легко сделать хаотичной траекторию для этой переменной, оставив траекторию другой переменной в упорядоченном состоянии. Но, что более интересно, при определенных значениях расчетных параметров можно, меняя параметры одной переменной, сделать хаотичной траекторию поведения другой переменной.
Объясним, что это значит, на простом примере. Предположим, что логистическое уравнение описывает работу некоторой фирмы, выпускающей продукцию в количестве, измеряемом величиной х. При большом значении коэффициента роста r=4 работа фирмы приобретает хаотический характер. Однако, при наличии небольшого дополнительного возмущения (например, рекламная деятельность), носящего залавливающий характер, работа фирмы может принять стабильный характер.
В случае двух фирм, выпускающих одну и туже продукцию, наличие малых перекрестных возмущений можно интерпретировать как информационное воздействие конкурирующих фирм друг на друга. Результаты приведенных расчетов указывают на то, что имеется возможность с помощью, казалось бы, незначительного информационного влияния разрушить работу одной из фирм, оставив другую фирму в некотором стабильном упорядоченном режиме.
8. Принцип причинности
Реальные траектории, начинающиеся от любых начальных состояний, при любом малом фоне внешних возмущений стремятся к некоторому универсальному предельному состоянию, главная часть которого есть соответствующий предельный цикл. Для логистической системы при одних значениях параметра роста они стремятся к особому состоянию, являющемуся аттрактором, а при других его значениях, например, при r = 4, являются хаотическими и стремятся к особому состоянию, описываемому своей функцией распределения.
Было установлено, что при надлежащем выборе управляющего фона малых возмущений особым состоянием может быть и любое циклическое решение, которое в данном случае будет аттрактором. Особым состоянием может быть как хаотическое решение, обладающее определенной функцией распределения, так и любое упорядоченное циклическое решение.
Замечательно, что одна и та же система, причем, описываемая очень простым соотношением, при наличии лишь различных полей малых фоновых возмущений проявляет принципиально различные свойства. По всей вероятности, и в случаях других нелинейных неустойчивых систем мы, в конце концов, научимся перестраивать их особые состояния по своему усмотрению. Во всяком случае, исследованный нами пример с логистической системой показывает, что манипулировать нелинейной неустойчивой системой легко, если знать как.
Стремление этих систем к особым состояниям является ключевым моментом, упрощающим исследование и характеризующим нелинейную динамику вообще.
Обратимся теперь к вопросу о справедливости принципа причинности при эволюции неустойчивых нелинейных систем. Этот вопрос непосредственно связан с наличием неустойчивости, развивающейся во времени t: ( x = ( x0ept. На основании этого соотношения можно оценить время забывания начального состояния: Т* ~ |ln( x0|.
Смысл этой оценки заключается и в том, что (x0 можно понимать как минимально возможное начальное отклонение, которое еще может быть нами зарегистрировано. Это, еще фиксируемое нами отклонение, которое интерпретируется как точность измерений, может изменяться во времени. При расчетах на компьютере (x0 - это точность вычислений.
Если развитие системы происходит на временах t << T*, то процесс является детерминированным. Однако если t ( Т*, система приходит в состояние, когда начальные условия забываются, и принципиально наступает индетерминизм. Иными словами, на временах t << T* имеет место принцип причинности, в то время как на временах t ( T* он уже не соблюдается. То есть принцип причинности справедлив только в самом начале развития процесса. Как только начинает формироваться особое состояние, принцип причинности нарушается.
Действительно, рассмотрим какие-либо два начальных состояния одного и того же процесса х0(1) и х0(2), с соответствующими точностями измерении (x0(1) и (x0(2), где (x0(1) ~ (x0(2). По прошествии времени Т* (x0(1) и (x0(2), различные вначале, покроют одновременно всю область изменения х. Поэтому определенно сказать, из какой точки, х0(1) или х0(2), траектория пришла в точку х, невозможно. Это доказывает несоблюдение в данном случае принципа причинности.


__________

??





128

127